Cardanische Formel

Die kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades hat die allgemeine Form
$A{x}^3+B{x}^2+Cx+D=0\left(A\ne 0\right)$ .
Nach Division durch A hat sie die Form
$x^3+a{x}^2+bx+c=0$.   
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine kubische Gleichung genau drei Lösungen. Eine Lösungsformel wurde in der Renaissance gefunden und 1545 veröffentlicht, die sogenannte cardanische Formel. Diese ist nach dem italienischen Mathematiker und Arzt GERONIMO CARDANO (1501 bis 1576) benannt, obwohl sie eigentlich auf NICCOLÒ TARTAGLIA (etwa 1500 bis 1557) zurückgeht.

Für praktische Anwendungen hat die cardanische Formel allerdings wenig Bedeutung, die Beschäftigung mit ihr vermittelt aber Eindrücke vom mathematischen Herangehen an das Lösen von Gleichungen.

Die Herleitung der Lösungsformel ist sehr kompliziert und kann hier nur angedeutet werden. Durch die Substitution $x=z-\frac{a}{3}$ erhält man eine kubische Gleichung mit der Unbekannten z, bei der aber (im Unterschied zur Originalgleichung) das quadratische Glied fehlt: Aus
${\left(z-\frac{a}{3}\right)}^3+a{\left(z-\frac{a}{3}\right)}^2+b\left(z-\frac{a}{3}\right)+c=0$
ergibt sich nach Ausführen der Multiplikationen und Zusammenfassen:
$\begin{array}{l}{z}^3+pz+q=0\\ \text{mit }\text{p}=b-\frac{a^2}{3}\text{ und q}=\frac{ab}{3}-\frac{2}{27}{a}^3-c\end{array}$
Auf diese reduzierte Form der kubischen Gleichung bezieht sich die cardanische Lösungsformel:
$z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{q}{2}\right)}^2+\frac{p^3}{27}}}$
Daraus ergibt sich x, nämlich $x=z-\frac{a}{3}$.

Beispiel 1:
In der kubischen Gleichung $x^3-2x-4=0$ fehlt das quadratische Glied. Das Einführen einer neuen Unbekannten ist nicht erforderlich, die Lösungsformel kann unmittelbar eingesetzt werden.
Es ist $p=-2$ und $q=-4$, und somit folgt:
$\begin{array}{l}x=\sqrt[3]{2+\sqrt{4+{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{4+{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3}}\\ \approx \sqrt[3]{2+\sqrt{\mathrm{3,703704}}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{\mathrm{3,703704}}}\\ \approx \mathrm{1,577350}+\mathrm{0,422649}\\ \approx \mathrm{1,999}999\end{array}$

Die exakte Lösung ist x = 2.
Durch Polynomdivision $\left(x^3+2x-4\right):\left(x-2\right)$ erhält man das quadratische Polynom $x^2+2x+2$, womit die Bestimmung der beiden weiteren Lösungen der kubischen Gleichung auf das Lösen einer quadratischen Gleichung zurückgeführt ist. Da $x^2+2x+2=0$ keine reellen Lösungen besitzt, hat also die gegebene kubische Gleichung in $ℝ$nur die oben ermittelte Lösung x = 2.

Beispiel 2:
Es ist die Gleichung $x^3-6x^2+11x-6=0$ zu lösen.
Mit $a=-6$ und der Substitution $x=z+2$ ergibt sich:
$\begin{array}{l}{\left(z+2\right)}^3-6{\left(z+2\right)}^2+11\left(z+2\right)-6=0\\ z^3-z=0\end{array}$
Das ließe sich nun einfach durch Produktdarstellung lösen. Aus $z\left(z^2-1\right)=z\left(z-1\right)\left(z+1\right)=0$ erhielte man $z_1=\mathrm{0,}{z}_2=1\text{ und }{z}_3=-1$, woraus wegen $x=z+2$ folgt:
$x_1=\mathrm{2,}{x}_2=3\text{ und }{x}_3=1$
Wir wollen trotzdem die Lösungsformel für die kubische Gleichung $z^3-z=0$ anwenden, wobei $p=-1$ und $q=0$ ist:
$\begin{array}{l}x=\sqrt[3]{0+\sqrt{0+{\left(\frac{-1}{3}\right)}^3}}+\sqrt[3]{0-\sqrt{0+{\left(\frac{-1}{3}\right)}^3}}\\ \approx \sqrt[3]{0+\sqrt{\mathrm{0,037037}}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-\mathrm{0,037037}}}\end{array}$

Die Formel versagt im Reellen! Um hier weiterzumachen, müsste der Bereich der reellen Zahlen verlassen werden, aber das ist nicht Gegenstand der Schulmathematik.