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  5. 6.1.4 Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Achsen
  6. Funktionsgraphen und Punkte

Funktionsgraphen und Punkte

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes in die Funktionsgleichung kann überprüft werden, ob der Punkte auf dem Graphen der Funktion liegt oder nicht.
Von besonderem Interesse sind die Schnittpunkte des Graphen einer Funktion mit den Koordinatenachsen. Auch sie lassen sich aus der Funktionsgleichung bestimmen.

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Erklärvideos und Übungen zum Thema Funktionsgraphen gibt es hier!

Ein Auto soll für die Untersuchung des Kraftstoffverbrauchs eine Teststrecke während 6 min möglichst genau mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h (also 1,5 km/min) durchfahren.
Die zugehörige Funktion f mit der Gleichung s = f   ( t ) = 1,5     t (t in Minuten, s in Kilometer) besitzt den in Bild 1 dargestellten Graphen.

Auf einem Messgerät werden im Abstand von 0,5 min Zahlenpaare angegeben, in denen das erste Element die vergangene Fahrtzeit und das zweite den bis dahin zurückgelegten Weg bedeutet:
  { ( 0 ;     0 ) ,     ( 0,5 ;     0,5 ) ,     ( 1 ;     1,4 ) ,     ( 1,5 ;     2,2 ) ,     ( 2 ;     3 ) ,     ( 2,5 ;     4 ) ,     ( 3 ;     4,7 ) ,       ( 3,5 ;     5 ) ,     ( 4 ;     5,9 ) ,     ( 4,5 ;     6,9 ) ,     ( 5 ;     7,5 ) ,     ( 5,5 ;     8,2 ) ,         ( 6 ;     9 ) }
Wir können feststellen: Liegt der einem Wertepaar entsprechende Punkt P 1 ( s 1 ;     t 1 )
– unterhalb des Graphen von s = f   ( t ) , ist also s 1 < f   ( t 1 ) , so ist die bis dahin zurückgelegte Strecke im Vergleich zu den Zielwerten zu klein;
– oberhalb des Graphen von s = f   ( t ) , ist also s 1 > f   ( t 1 ) , so ist die bis dahin zurückgelegte Strecke im Vergleich zu den Zielwerten zu groß.
Dann und nur dann, wenn P 1 auf dem Graphen von f liegt, wenn also s 1 = f   ( t 1 ) ist, befindet sich das Auto bezüglich seiner Geschwindigkeit genau „im Limit“.

Verallgemeinert formuliert:

Ein Punkt P 1 ( x 1 ;     y 1 ) liegt genau dann auf dem Graphen der Funktion y = f   ( x ) , wenn y 1 = f   ( x 1 ) ist, d. h., wenn die Koordinaten x 1 , y 1 von P 1 die Gleichung y = f   ( x ) erfüllen.
(Gilt dagegen y 1 > f   ( x 1 ) oder y 1 < f   ( x 1 ) , erfüllt also ( x 1 ;     y 1 ) die Gleichung y = f   ( x ) nicht, so liegt der Punkt P 1 ( x 1 ;     y 1 ) – wenn man in Richtung der y-Achse blickt – „oberhalb“ bzw. „unterhalb“ des Graphen von f).

Von besonderem Interesse sind die Punkte des Graphen einer Funktion f, in denen dieser
– die x-Achse schneidet (oder berührt),
– die y-Achse schneidet.

Der Schnittpunkt P x des Graphen einer Funktion y = f   ( x ) mit der x-Achse hat die Koordinaten (x; 0). Das Zahlenpaar (x; 0)muss also die Gleichung y = f   ( x ) erfüllen, d. h., es muss gelten:
f(x) = 0

Die aus dieser Gleichung ermittelte Abszisse des Schnittpunkts des Graphen von f mit der x-Achse nennt man eine Nullstelle von f.

Beispiel: y = f   ( x ) = 3 x − 9
Wir setzen y = 0. Aus 0 = 3x – 9 erhalten wir:
3x = 9 bzw. x = 3

Das heißt: x = 3 ist die Nullstelle der Funktion f und P x ( 3 ;     0 ) ist der Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse.
Anmerkung: Der Graph einer Funktion y = f   ( x ) kann die x-Achse mehrfach schneiden oder berühren.

Der Schnittpunkt P y des Graphen einer Funktion y = f   ( x ) mit der y-Achse hat die Koordinaten (0; y). Das Zahlenpaar (0; y) muss also die Gleichung y = f   ( x ) erfüllen, d. h., es muss gelten:
y = f(0)

Setzt man also in der Funktionsgleichung y = f   ( x ) für x die Zahl 0 ein, so erhält man die Ordinate y des Schnittpunkts des Graphen von f mit der y-Achse.

Beispiel: y = f   ( x ) = 3 x − 9
Wir setzen für x = 0 und erhalten:
y = 3 · 0 – 9 bzw. y = –9
Das heißt:
Der Graph von f schneidet die y-Achse im Punkt P y ( 0 ;     − 9 ) .
Anmerkung: Der Graph einer Funktion y = f   ( x ) kann die y-Achse wegen der notwendigen Eindeutigkeit der Zuordnung x → f   ( x )   höchstens einmal schneiden.

Wir verdeutlichen die obigen Zusammenhänge und Begriffe noch einmal an einem zusammenfassenden Beispiel.

Beispiel:
Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung y = f   ( x ) = 0,5 x 2 − 4,5 .
a) Es ist zu untersuchen, ob die Punkte P 1 ( 1 ;     − 4 ) ,       P 2 ( − 2 ;     − 2,5 )       b z w .       P 3 ( 2 ;     2,5 ) auf dem Graphen von f liegen.
b) Es sind die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen zu ermitteln.

Lösung zu a)
Wir setzen nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Gleichung von f ein und untersuchen die entstehenden Gleichheitsaussagen:
  P 1 :         − 4 = 0,5 ⋅ 1 2 − 4,5 = −   4                         ( w a h r e       A u s s a g e )   P 2 :         − 2 = 0,5 ⋅ ( − 2 ) 2 − 4,5 = −   2         ( w a h r e       A u s s a g e )   P 3 :         2,5 = 0,5 ⋅ 2 2 − 4,5 = −   2,5             ( f a l s c h e       A u s s a g e )
P 1       u n d       P 2 liegen also auf dem Graphen von f, P 3 liegt nicht auf dem Graphen.

Lösung zu b)
– Schnittpunkt mit der x-Achse:
Wir setzen y = 0. Aus 0 = 0,5x² –4,5 erhalten wir:
0,5x² = 4,5 bzw. x² = 9

Durch Wurzelziehen ergibt sich:
  x   1 = 3         b z w .         x 2 = − 3
Das heißt: x 1 = 3         u n d         x 2 = − 3 sind die Nullstellen der Funktion f, P 1   ( 3 ;     0 )         u n d         P 2   ( −   3 ;     0 )   sind die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse.

– Schnittpunkt mit der y-Achse:
Wir setzen x = 0 und erhalten:
y =0,5 · 0² – 4,5 = –4,5
Das heißt: Der Graph von f schneidet die y-Achse im Punkt P y ( 0 ;     − 4,5 ) .

  • Beispiel für Wertepaare und deren Lage bezüglich des Funktionsgraphen
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Funktionsgraphen und Punkte." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/funktionsgraphen-und-punkte (Abgerufen: 20. May 2025, 12:22 UTC)

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  • Koordinatenachse
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Euler, Mathematische Beiträge

LEONHARD EULER (1707 bis 1783), Schweizer Mathematiker und Physiker
*  15. März 1707 Basel
† 18. September 1783 St. Petersburg

Die Würdigung der mathematischen Beiträge EULERs muss sich hier auf einige ausgewählte Beispiele beschränken.

EULERs besondere Liebe galt der Zahlentheorie.

Funktionsbegriff

Der Funktionsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik und spielt auch bei Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft, Technik, Wirtschaft und Gesellschaft eine wichtige Rolle. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden: LEIBNIZ verwendete 1692 erstmals das Wort Funktion, von JOHANN BERNOULLI stammt die erste Definition und auch EULER trug zur Präzisierung bei.
Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D eindeutig ein Element y aus einer Menge W zuordnet. D heißt der Definitionsbereich, W der Wertebereich der Funktion f. Man nennt x ∈ D ein Argument, das zugeordnete Element y ∈ W den Funktionswert von x bei der Funktion f. Als Kurzschreibweise gibt man die Funktionsgleichung u. a. in der Form y = f   ( x ) an.

Quadratische Funktionen, Nullstellen

Wir betrachten zunächst quadratische Funktionen der Form y = f ( x ) = a x 2 + b x + c .
Man erhält y = f ( x ) = x 2 + b x + c bzw. durch Umbenennung
y = f ( x ) = x 2 + p x + q ,     p ,   q ∈ ℝ .
Um den Zusammenhang zwischen den reellen Zahlen p, q und den Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktionen bzw. den Schnittpunkten ihrer Graphen mit der x-Achse zu erkennen, ist es zweckmäßig, eine Fallunterscheidung durchzuführen.

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist eine stückweise erklärte stetige Funktion. Sie ist folgendermaßen definiert:
  f   ( x ) = {     x   für  x ≥ 0 − x   für  x < 0

Leonhard Euler

LEONHARD EULER (1707 bis 1783), Schweizer Mathematiker und Physiker
*  15. März 1707 Basel
† 18. September 1783 St. Petersburg

LEONHARD EULER war einer der produktivsten Wissenschaftler, was sowohl Fülle und Bedeutsamkeit als auch Vielseitigkeit seiner Beiträge angeht. Zwar gilt er vor allem als Mathematiker, doch hat er auch andere Gebiete – oft unter Nutzung der Mathematik – bearbeitet.

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