Funktionen, y = mx

Wenn sich eine Schildkröte mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von 1,5 m min fortbewegt, so besteht zwischen zurückgelegtem Weg und verflossener Zeit ein spezieller funktionaler Zusammenhang: Es handelt sich um eine direkte Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor 1,5 m min . Mittels der Gleichung s = 1,5 m min t lässt sich der Weg berechnen, den die Schildkröte in der Zeit t (gemessen in Minuten) zurückgelegt hat (Bild 1).
 

Zeit t in min0123...
Weg s in m01,534,5...
Weg-Zeit-Diagramm

Weg-Zeit-Diagramm

Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx (m 0) beschrieben werden. Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften:

  • Der Definitions- und der Wertebereich ist .
  • Der Graph von y = f(x) = mx ist stets eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.

Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der Funktion f. Er gibt das Verhältnis einander zugeordneter Werte aus Definitions- und Wertebereich an (Bilder 2 und 3).

Steigende Gerade

Steigende Gerade

Steigende Gerade

Steigende Gerade

Anschaulich betrachtet, kann man sagen: Wenn x um 1 vergrößert wird, so verändert sich y um m.
Ist dabei m > 0, so wachsen die Funktionswerte an – die Gerade steigt.
Ist dagegen m < 0, so fallen die Funktionswerte wie auch die Gerade (Bild 4).
Um den Graphen einer linearen Funktion mit y = mx zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt. Als ein Punkt kann z. B. immer der Koordinatenursprung gewählt werden.

Einen zweiten Punkt erhält man, indem man

  • die Koordinaten dieses Punktes mithilfe der Funktionsgleichung berechnet oder
  • den Anstieg m benutzt.
Fallende Gerade

Fallende Gerade

Beispiel 1: Koordinaten mittels Funktionsgleichung berechnen (Bild 5)

  y = 2,5 x
Fürx = 2:y = 2,5 · 2
  y = 5
  P (2; 5 )



 

y = 2,5x

y = 2,5x

Beispiel 2: Koordinaten mittels Anstieg bestimmen (Bild 6)

 y = 3 4 x 
 m = 3 4 Wenn x um 1 wächst, so wächst y um 3 4 oder wenn x um 4 wächst, wächst y um 3.
   
  P (4; 3 )
y = 0,75x

y = 0,75x

Beispiel 3:y = – 2x(Bild 7) 
Für  x = 1: y = – 2 · 1
   y = – 2
    P 1 (1; – 2)
Oder:   
Für  x = – 1 2 : y = – 2 · (– 1 2 )
   y = 1
    P 2 (– 1 2 ; 1)
y = - 2x

y = - 2x

Beispiel 4:y = – 1 2 x(Bild 8)
 m = – 1 2

Wenn x um 1 wächst, so fällt y um 1 2 , bzw.
wenn x um 2 wächst, so fällt y um 1.

Oder: Wenn x um 2 fällt, so wächst y um 1.
y = – 0,5x

y = – 0,5x

Das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck nennt man Anstiegsdreieck (Steigungsdreick). Anstiegsdreiecke kann man in beliebiger Größe und an beliebiger Stelle zeichnen sowie entlang des Graphen verschieben (Bild 9).

Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine ganze Schar von Funktionen beschrieben, die sich nur im Anstieg m unterscheiden. Die Zahl m wird ein Parameter der Funktionsschar y = mx genannt. Zu der Funktionsschar gehört eine Geradenschar, deren einzelnen Elemente für m > 0 wachsen (oder steigen) und für m < 0 fallen (Bild 10) .

Anstiegsdreieck

Anstiegsdreieck

Schar von Funktionen

Schar von Funktionen

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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