Funktionen, y = mx
Wenn sich eine Schildkröte mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit von fortbewegt, so besteht zwischen zurückgelegtem Weg und verflossener Zeit ein spezieller funktionaler Zusammenhang: Es handelt sich um eine direkte Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor . Mittels der Gleichung lässt sich der Weg berechnen, den die Schildkröte in der Zeit t (gemessen in Minuten) zurückgelegt hat (Bild 1).
| Zeit t in min | 0 | 1 | 2 | 3 | ... |
| Weg s in m | 0 | 1,5 | 3 | 4,5 | ... |
Weg-Zeit-Diagramm
Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx (m 0) beschrieben werden. Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften:
- Der Definitions- und der Wertebereich ist .
- Der Graph von y = f(x) = mx ist stets eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der Funktion f. Er gibt das Verhältnis einander zugeordneter Werte aus Definitions- und Wertebereich an (Bilder 2 und 3).
Steigende Gerade
Steigende Gerade
Anschaulich betrachtet, kann man sagen: Wenn x um 1 vergrößert wird, so verändert sich y um m.
Ist dabei m > 0, so wachsen die Funktionswerte an – die Gerade steigt.
Ist dagegen m < 0, so fallen die Funktionswerte wie auch die Gerade (Bild 4).
Um den Graphen einer linearen Funktion mit y = mx zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt. Als ein Punkt kann z. B. immer der Koordinatenursprung gewählt werden.
Einen zweiten Punkt erhält man, indem man
- die Koordinaten dieses Punktes mithilfe der Funktionsgleichung berechnet oder
- den Anstieg m benutzt.
Fallende Gerade
Beispiel 1: Koordinaten mittels Funktionsgleichung berechnen (Bild 5)
| y = 2,5 x | ||
| Für | x = 2: | y = 2,5 · 2 |
| y = 5 | ||
| P (2; 5 ) |
y = 2,5x
Beispiel 2: Koordinaten mittels Anstieg bestimmen (Bild 6)
| y = x | ||
| m = | Wenn x um 1 wächst, so wächst y um oder wenn x um 4 wächst, wächst y um 3. | |
| P (4; 3 ) |
y = 0,75x
| Beispiel 3: | y = – 2x | (Bild 7) | |
| Für | x = 1: | y = – 2 · 1 | |
| y = – 2 | |||
| (1; – 2) | |||
| Oder: | |||
| Für | x = – : | y = – 2 · (– ) | |
| y = 1 | |||
| (– ; 1) |
y = - 2x
| Beispiel 4: | y = – x | (Bild 8) |
| m = – | Wenn x um 1 wächst, so fällt y um , bzw. | |
| Oder: | Wenn x um 2 fällt, so wächst y um 1. |
y = – 0,5x
Das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck nennt man Anstiegsdreieck (Steigungsdreick). Anstiegsdreiecke kann man in beliebiger Größe und an beliebiger Stelle zeichnen sowie entlang des Graphen verschieben (Bild 9).
Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine ganze Schar von Funktionen beschrieben, die sich nur im Anstieg m unterscheiden. Die Zahl m wird ein Parameter der Funktionsschar y = mx genannt. Zu der Funktionsschar gehört eine Geradenschar, deren einzelnen Elemente für m > 0 wachsen (oder steigen) und für m < 0 fallen (Bild 10) .
Anstiegsdreieck
Schar von Funktionen
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Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.
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