Nullstellen

Bei Untersuchungen von Funktionen mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)$ werden meist zunächst Funktionswerte $f\left(x\right)$ zu vorgegebenen Argumenten x, also die Werte $f\left(x\right)$ der Funktion f an bestimmten Stellen x ermittelt. Aber auch die umgekehrte Fragestellung kann von Bedeutung sein, nämlich

• die Stellen x zu bestimmen, wo die Funktion f einen bestimmten gegebenen Wert $f\left(x\right)$ besitzt,
• das Argument x zu einem gegebenen Funktionswert $f\left(x\right)$ zu ermitteln,     
• das erste Element bei einer als Paarmenge gegebenen Funktion zum jeweils zweiten Paarelement zu bestimmen,
• dasjenige Element des Definitionsbereichs zu ermitteln, das durch f auf ein gegebenes Element des Wertebereichs abgebildet wird,

oder (auf den Graphen von f bezogen)

die Abszisse x eines Punkts des Graphen von f zu bestimmen, der die Ordinate $y\left(=f\left(x\right)\right)$ besitzt (interaktives Rechenbeispiel 1).

Beispiele:

• Man bestimmte die Stelle x, an der die Funktion f mit $y=f\left(x\right)=3x+5$den Wert –4 besitzt.
  Lösung:
  $3x+5=-4\Rightarrow 3x=-9$
  Somit ist $x=-3$.
• Man ermittle das Argument x zu dem Funktionswert 7 bei der Funktion $y=f\left(x\right)=\left|x\right|+3$.
  Lösung:
  $\left|x\right|+3=7\Rightarrow \left|x\right|=4$
  Es gibt in diesem Falle zwei Argumente ($x_1=4$ und $x_2=-4$), die den Funktionswert 7 besitzen.
• Es ist das Element x des Definitionsbereichs zu bestimmen, das durch die Funktion $f\left(x\right)=x^2+4$ auf die Zahl 1 abgebildet wird.
  Lösung: $x^2+4=1\Rightarrow x^2=-3$
  Da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist, kann die Zahl 1 kein Element des Wertebereichs von f sein.
• Es ist zu untersuchen, ob der Graph der Funktion f mit $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2-8$einen Punkt mit der Ordinate 10 besitzt.
  Lösung:
  $\mathrm{0,5}{x}^2-8=10\Rightarrow \mathrm{0,5}{x}^2=18$
  Also ist x² = 36 und damit x₁ = 6 und x₂ = –6 .
  Die Punkte des Graphen von f mit den Abszissen x₁ = 6 und x₂ = –6 besitzen die Ordinate 10.

Von besonderem Interesse bei der Untersuchung einer Funktion sind häufig

• diejenigen Stellen, an der eine Funktion den Wert 0 besitzt, also
• diejenigen Argumente, welche den Funktionswert 0 haben oder
• diejenigen Punkte, in denen der Graph der Funktion die Abszissenachse schneidet oder berührt, also Punkte, die die Ordinate 0 haben.
• Jede Zahl x aus dem Definitionsbereich einer Funktion f, für die f(x) = 0 gilt, nennt man Nullstelle dieser Funktion.

Eine Nullstelle einer Funktion f ist zugleich die Abszisse eines Punktes, in dem der Graph von f die x-Achse schneidet.

Um die Nullstelle(n) einer Funktion f mit der Gleichung $f\left(x\right)$ bzw. die Abszisse(n) ihres (ihrer) Schnittpunkte(s) mit der x-Achse zu bestimmen, muss man für y in der Funktionsgleichung die Zahl 0 einsetzen und die entstehende Bestimmungsgleichung $f\left(x\right)=0$ lösen.

Beispiel 1 (Bild 1): Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=4x-2$. Gesucht sind der Schnittpunkt S ihres Graphen mit der x-Achse und die Nullstelle von f.
Lösung (für y = 0 eingesetzt):
$\begin{array}{l}0=4x-2\text{‌}\text{‌}\text{‌}\text{‌}\text{‌}|+2\\ 2=4x|:4\\ \frac{1}{2}=x\end{array}$
Der Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse ist $S\left(\frac{1}{2};0\right)$. Die Nullstelle ist $x=\frac{1}{2}$.

Funktionsgraphen können keinen, einen oder mehrere Schnitt- bzw. Berührungspunkt(e) mit der x-Achse, die zugehörigen Funktionen also dann keine, eine oder mehrere Nullstelle(n) haben:

Beispiel 2 (Bild 2): Gesucht sind die Nullstellen der Funktion mit $y=f\left(x\right)=x^2-x-6$.
Lösung:
$\begin{array}{l}0=x^2-x-6\\ x_{1;2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+6}\\ x_{1;2}=\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2}\end{array}$
Es gibt zwei Nullstellen $x_1=3$ und $x_2=-2$.

Mit dem interaktiven Rechenbeispiel 2 können Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmt werden, interaktives Rechenbeispiel 3 dient zur Ermittlung von Nullstellen beliebiger ganzrationaler Funktionen.