Nullstellen

Bei Untersuchungen von Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) werden meist zunächst Funktionswerte f ( x ) zu vorgegebenen Argumenten x, also die Werte f ( x ) der Funktion f an bestimmten Stellen x ermittelt. Aber auch die umgekehrte Fragestellung kann von Bedeutung sein, nämlich

  • die Stellen x zu bestimmen, wo die Funktion f einen bestimmten gegebenen Wert f ( x ) besitzt,
  • das Argument x zu einem gegebenen Funktionswert f ( x ) zu ermitteln,     
  • das erste Element bei einer als Paarmenge gegebenen Funktion zum jeweils zweiten Paarelement zu bestimmen,
  • dasjenige Element des Definitionsbereichs zu ermitteln, das durch f auf ein gegebenes Element des Wertebereichs abgebildet wird,
Nullstelle einer linearen Funktion

Nullstelle einer linearen Funktion

oder (auf den Graphen von f bezogen)

die Abszisse x eines Punkts des Graphen von f zu bestimmen, der die Ordinate y ( = f ( x ) ) besitzt (interaktives Rechenbeispiel 1).

Beispiele:

  • Man bestimmte die Stelle x, an der die Funktion f mit y = f ( x ) = 3 x + 5 den Wert –4 besitzt.
    Lösung:
    3 x + 5 = 4 3 x = 9
    Somit ist x = 3 .
  • Man ermittle das Argument x zu dem Funktionswert 7 bei der Funktion y = f ( x ) = | x | + 3 .
    Lösung:
    | x | + 3 = 7 | x | = 4
    Es gibt in diesem Falle zwei Argumente ( x 1 = 4 und x 2 = 4 ), die den Funktionswert 7 besitzen.
  • Es ist das Element x des Definitionsbereichs zu bestimmen, das durch die Funktion f ( x ) = x 2 + 4 auf die Zahl 1 abgebildet wird.
    Lösung: x 2 + 4 = 1 x 2 = 3
    Da es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist, kann die Zahl 1 kein Element des Wertebereichs von f sein.
  • Es ist zu untersuchen, ob der Graph der Funktion f mit f ( x ) = 0,5 x 2 8 einen Punkt mit der Ordinate 10 besitzt.
    Lösung:
    0,5 x 2 8 = 10 0,5 x 2 = 18
    Also ist x2 = 36 und damit x1 = 6 und x2 = –6 .
    Die Punkte des Graphen von f mit den Abszissen x1 = 6 und x2 = –6 besitzen die Ordinate 10.

Von besonderem Interesse bei der Untersuchung einer Funktion sind häufig

  • diejenigen Stellen, an der eine Funktion den Wert 0 besitzt, also
  • diejenigen Argumente, welche den Funktionswert 0 haben oder
  • diejenigen Punkte, in denen der Graph der Funktion die Abszissenachse schneidet oder berührt, also Punkte, die die Ordinate 0 haben.
  • Jede Zahl x aus dem Definitionsbereich einer Funktion f, für die f(x) = 0 gilt, nennt man Nullstelle dieser Funktion.

Eine Nullstelle einer Funktion f ist zugleich die Abszisse eines Punktes, in dem der Graph von f die x-Achse schneidet.

Um die Nullstelle(n) einer Funktion f mit der Gleichung f ( x ) bzw. die Abszisse(n) ihres (ihrer) Schnittpunkte(s) mit der x-Achse zu bestimmen, muss man für y in der Funktionsgleichung die Zahl 0 einsetzen und die entstehende Bestimmungsgleichung f ( x ) = 0 lösen.

Beispiel 1 (Bild 1): Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung y = f ( x ) = 4 x 2 . Gesucht sind der Schnittpunkt S ihres Graphen mit der x-Achse und die Nullstelle von f.
Lösung (für y = 0 eingesetzt):
0 = 4 x 2 | + 2 2 = 4 x | : 4 1 2 = x
Der Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse ist S ( 1 2 ; 0 ) . Die Nullstelle ist x = 1 2 .

Funktionsgraphen können keinen, einen oder mehrere Schnitt- bzw. Berührungspunkt(e) mit der x-Achse, die zugehörigen Funktionen also dann keine, eine oder mehrere Nullstelle(n) haben:

Bild

Nullstellen einer qudratischen Funktion

Nullstellen einer qudratischen Funktion

Beispiel 2 (Bild 2): Gesucht sind die Nullstellen der Funktion mit y = f ( x ) = x 2 x 6 .
Lösung:
0 = x 2 x 6 x 1 ; 2 = 1 2 ± 1 4 + 6 x 1 ; 2 = 1 2 ± 5 2
Es gibt zwei Nullstellen x 1 = 3 und x 2 = 2 .

Mit dem interaktiven Rechenbeispiel 2 können Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmt werden, interaktives Rechenbeispiel 3 dient zur Ermittlung von Nullstellen beliebiger ganzrationaler Funktionen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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