Intervalle, Rechnen

Irrationale Zahlen können durch eine Folge von Intervallen dargestellt werden. Es ist nun nahe liegend, die Intervalle der entsprechenden Schachtelungen zur Ausführung der Grundrechenarten mit irrationalen Zahlen zu nutzen. Bevor auf diese Weise verschiedene Wurzeln miteinander verknüpft werden, sollen anhand zweier überschaubarer Intervalle Regeln für das Rechnen mit Intervallen gefunden werden. Da bei der Multiplikation und bei der Division die Vorzeichen der Intervallgrenzen zu beachten sind, wird im Folgenden eine Beschränkung auf positive Intervalle vorgenommen.

Beispiel:
Zwei rationale Zahlen x₁ und x₂ mit 1 ≤ x₁ ≤ 2 und 3 ≤ x₂ ≤ 5 sollen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verknüpft werden. Es sind also gesucht:
[1; 2] + [3; 5]; [1; 2] – [3; 5]; [1; 2] · [3; 5]; [1; 2] : [3; 5]

Aufgabe	Wortvorschrift	Rechnung
[1; 2] + [3; 5]	Addiert man zu einer Zahl aus [1; 2] eine Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl 4 und als größtmögliche Zahl 7.	[1; 2] + [3; 5] = [4; 7]
[1; 2] – [3; 5]	Subtrahiert man von einer Zahl aus [1; 2] eine Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl – 4 und als größtmögliche Zahl –1.	[1; 2] – [3; 5] = [–4; –1]
[1; 2] · [3; 5]	Multipliziert man eine Zahl aus [1; 2] mit einer Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl 3 und als größtmögliche Zahl 10.	[1; 2] · [3; 5] = [3; 10]
[1; 2] : [3; 5]	Dividiert man eine Zahl aus [1; 2] durch eine Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl und als größtmögliche Zahl .	[1; 2] : [3; 5] = $\left[\frac{1}{5};\frac{2}{3}\right]$

Verallgemeinerung:

Es gilt für zwei Intervalle [a₁; a₂], [b₁; b₂] mit a₁, a₂, b₁, b₂ $\in ℝ$ und
a₂ > a₁> 0, b₂ > b₁ > 0:

Addition:
[a₁; a₂] + [b₁; b₂] = [a₁+ b₁; a₂ + b₂]

Subtraktion:
[a₁; a₂] – [b₁; b₂] = [a₁– b₂; a₂– b₁]

Multiplikation:
[a₁; a₂] · [b₁; b₂] = [a₁· b₁; a₂· b₂]

Division:
$\frac{\left[a_1;a_2\right]}{\left[b_1;b_2\right]}=\left[\frac{a_1}{b_2};\frac{a_2}{b_1}\right]$

Die Regeln für das Rechnen mit Intervallen lassen sich nun auch auf das Rechnen mit irrationalen Zahlen anwenden. Auf den notwendigen Beweis dieser Behauptung soll hier verzichtet werden.

Der hohe Rechenaufwand lässt sich durch den Einsatz einer Tabellenkalkulation deutlich verringern.

Beispiel:
Die irrationalen Zahlen und sollen durch die Grundrechenoperationen miteinander verknüpft werden. Verwendet man für und Folgen von Intervallen, so werden auch + , – , ·
und $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ durch Intervallfolgen beschrieben (Bild 1).