Intervalle, Rechnen

Irrationale Zahlen können durch eine Folge von Intervallen dargestellt werden. Es ist nun nahe liegend, die Intervalle der entsprechenden Schachtelungen zur Ausführung der Grundrechenarten mit irrationalen Zahlen zu nutzen. Bevor auf diese Weise verschiedene Wurzeln miteinander verknüpft werden, sollen anhand zweier überschaubarer Intervalle Regeln für das Rechnen mit Intervallen gefunden werden. Da bei der Multiplikation und bei der Division die Vorzeichen der Intervallgrenzen zu beachten sind, wird im Folgenden eine Beschränkung auf positive Intervalle vorgenommen.

Beispiel:
Zwei rationale Zahlen x1 und x2 mit 1 ≤ x1 ≤ 2 und 3 ≤ x2 ≤ 5 sollen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verknüpft werden. Es sind also gesucht:
[1; 2] + [3; 5]; [1; 2] – [3; 5]; [1; 2] · [3; 5]; [1; 2] : [3; 5]

AufgabeWortvorschriftRechnung
[1; 2] + [3; 5]Addiert man zu einer Zahl aus [1; 2] eine Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl 4 und als größtmögliche Zahl 7.[1; 2] + [3; 5] = [4; 7]
[1; 2] – [3; 5]Subtrahiert man von einer Zahl aus [1; 2] eine Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl
– 4 und als größtmögliche Zahl –1.
[1; 2] – [3; 5] = [–4; –1]
[1; 2] · [3; 5]Multipliziert man eine Zahl aus [1; 2] mit einer Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl 3 und als größtmögliche Zahl 10.[1; 2] · [3; 5] = [3; 10]
[1; 2] : [3; 5]Dividiert man eine Zahl aus [1; 2] durch eine Zahl aus [3; 5], so erhält man als kleinstmögliche Zahl Bild und als größtmögliche Zahl Bild.[1; 2] : [3; 5] = [ 1 5 ; 2 3 ]

Verallgemeinerung:

Es gilt für zwei Intervalle [a1; a2], [b1; b2] mit a1, a2, b1, b2 und
a2 > a1> 0, b2 > b1 > 0:

Addition:
[a1; a2] + [b1; b2] = [a1+ b1; a2 + b2]

Subtraktion:
[a1; a2] – [b1; b2] = [a1– b2; a2– b1]

Multiplikation:
[a1; a2] · [b1; b2] = [a1· b1; a2· b2]

Division:
[ a 1 ; a 2 ] [ b 1 ; b 2 ] = [ a 1 b 2 ; a 2 b 1 ]

Die Regeln für das Rechnen mit Intervallen lassen sich nun auch auf das Rechnen mit irrationalen Zahlen anwenden. Auf den notwendigen Beweis dieser Behauptung soll hier verzichtet werden.

Der hohe Rechenaufwand lässt sich durch den Einsatz einer Tabellenkalkulation deutlich verringern.

Beispiel:
Die irrationalen Zahlen Bildund Bildsollen durch die Grundrechenoperationen miteinander verknüpft werden. Verwendet man für Bildund Bild Folgen von Intervallen, so werden auch Bild + Bild, BildBild, Bild · Bild
und 2 3 durch Intervallfolgen beschrieben (Bild 1).

Rechnen mit Intervallen unter Einsatz einer Tabellenkalkulation

Rechnen mit Intervallen unter Einsatz einer Tabellenkalkulation

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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