Natürliche Zahlen, Rechnen

Die Addition und ihre Umkehrung, die Subtraktion sowie die Multiplikation und ihre Umkehrung, die Division, sind die sogenannten vier Grundrechenarten.
Dabei sind Addition und Subtraktion die Rechenarten erster Stufe.
Multiplikation und Division sind die Rechenarten zweiter Stufe.

Beim Rechnen haben die Operationen höherer Stufe Vorrang (Priorität).
2 + 4 · 5 = 2 + 20 = 22
Die Multiplikation hat Vorrang vor der Addition.
10 – 6 : 2 = 10 – 3 = 7
Die Division hat Vorrang vor der Subtraktion.

Addition

Natürliche Zahlen kann man addieren. Addieren ist z. B. Zusammenfassen, Dazugeben, Hinzufügen, Vermehren und Verlängern.
Geht man auf die Mengenvorstellung der Kardinalzahl zurück, so bedeutet Addieren das Vereinigen von entsprechenden Mengen.
Die Addition ist im Bereich der natürlichen Zahlen immer ausführbar und eindeutig. Zu zwei Zahlen a und b gibt es eine und nur eine Zahl s mit s = a + b.

Für die Addition gilt das Kommutativgesetz:
Summanden darf man vertauschen, dabei bleibt die Summe gleich: a + b = b + a
248 + 627 = 627 + 248 = 875

Für die Addition gilt das Assoziativgesetz:
Summanden darf man beliebig zusammenfassen, dabei bleibt die Summe gleich:
a + (b + c) = (a + b) + c

3 + (7 + 4)=(3 + 7) + 4
3 + 11=10 + 4
14=14

Aus beiden Gesetzen folgt, dass beim Addieren die Reihenfolge der Summanden beliebig ist.
3 + 8 = 3 + 7 + 1 = 10 + 1= 11
3 + 8 + 7 = 3 + 7 + 8

Subtraktion

Die Frage, welche Zahl d man zu einer Zahl a addieren muss, um eine vorgegebene Zahl c zu erhalten, führt zur Umkehrung der Addition, zur Subtraktion.
Subtrahieren ist z. B. Wegnehmen, Vermindern, Abziehen, Verringern, Verkleinern und Ausgeben.
Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition: a + d = c ist gleichwertig mit d = c – a.
Eine natürliche Zahl d existiert nur, wenn c a gilt.
Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Subtraktion nicht uneingeschränkt ausführbar. Sie ist ausführbar, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist.

Für die Subtraktion natürlicher Zahlen gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
a – 0 = a und a – a = 0, weil a + 0 = a
c – (a + b) = c – a – b
c – (a + b) = c – (b + a) und somit c – a – b = c – b – a

Diese Gesetzmäßigkeiten kann man beim Rechnen nutzen:

127 – (27 + 64)   = 127 – 27 – 64= 100 – 64= 36
218 – 55 –18   = (218 – 18) – 55= 200 – 55= 145

Multiplikation

Die Multiplikation ist die mehrfache Addition gleicher Summanden.
13 + 13 + 13 + 13 = 4 · 13 = 52
Die Multiplikation ist im Bereich der natürlichen Zahlen immer ausführbar und eindeutig. Zu zwei Zahlen a und b gibt es daher eine und nur eine Zahl p mit p = a · b.

Für die Multiplikation natürlicher Zahlen gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
Ein Produkt ist 0 genau dann, wenn (mindestens) ein Faktor 0 ist:
0 = a · 0 = 0 · a

Für p = a · b mit a, b und a 0, b 0 gilt stets p a und
p b.
Ein Produkt natürlicher Zahlen, in dem kein Faktor 0 ist, ist nie kleiner als ein einzelner Faktor.
Für die Multiplikation gilt das Kommutativgesetz:
Faktoren darf man vertauschen, dabei bleibt das Produkt gleich:
a · b = b · a
Für die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz:
Faktoren darf man beliebig zusammenfassen, dabei bleibt das Produkt gleich:
a · (b · c) = (a · b) · c
Für die Multiplikation gilt bezüglich der Addition (Subtraktion) das
Distributivgesetz: a · (b ± c) = a · b ± a · c oder
(b ± c) · a = b · a ± c · a
Eine Summe (Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jede Zahl mit diesem Faktor multipliziert und die entstehenden Produkte addiert (subtrahiert).
(a ± b ± c ± … ± n) · d = a · d ± b · d ± c · d ± … ± n · d

Division

Die Frage, mit welcher Zahl q man eine Zahl a multiplizieren muss, um eine vorgegebene Zahl c zu erhalten, führt zur Umkehrung der Multiplikation, zur Division.
a · q = c ist gleichwertig mit q = c : a (a 0).
Für c : a schreibt man c a auch und symbolisiert die Division durch den Bruchstrich.
Im Bereich der natürlichen Zahlen ist die Division nicht uneingeschränkt ausführbar. Nur wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist, ist sie ausführbar.

Für die Division natürlicher Zahlen gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:
a : 1 = a und a : a = 1, weil a · 1 = a
Die Division durch 0 ist nicht erklärt (nicht definiert).
Für die Division gilt bezüglich der Addition (Subtraktion) das Distributivgesetz:
Eine Summe (Differenz) kann gliedweise dividiert werden:
(a ± b) : c = a : c ± b : c

Das Rechenbeispiel umfasst die Grundrechenarten für zwei und mehr natürliche Zahlen.
In allen Beispielen können die gegeben Ausgangswerte durch beliebige eigene Werte ersetzt werden, man erhält jeweils das neue Resultat.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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