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Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen


Für die Summen bzw. Differenzen trigonometrischer Funktionen können Produktdarstellungen angegeben werden, die für das praktische Rechnen mitunter bequemer zu handhaben sind.

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Herleitung einer Produktdarstellung

Im Folgenden wird für die Summe sin x + sin y eine Produktdarstellung gewonnen. Unter Verwendung der entsprechenden Additionstheoreme ist:
  sin ( α + β ) + sin ( α − β ) = sin α cos β + cos α sin β + sin α cos β − cos α sin β = 2 sin α cos β
Man setzt
  α + β = x   α − β = y ,
woraus (nach Addition bzw. Subtraktion)
  α = x + y 2   u n d   β = x − y 2
folgt. Damit ergibt sich:

sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2

Analog lassen sich die folgenden Beziehungen ableiten:

  • sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x − y 2
  • cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2
  • cos x − cos y = −   2 sin x + y 2 sin x − y 2

Beispiel 1:
sin α + sin ( α + 2 3 π ) + sin ( α + 4 3 π )   = sin α + 2 sin ( α + 2 3 π ) + ( α + 4 3 π ) 2 cos ( α + 2 3 π ) − ( α + 4 3 π ) 2   = sin α + 2 sin ( α + π ) cos ( −   1 3 π ) = sin α − 2 sin α cos ( π 3 )   = sin α − 2 sin α ⋅ 1 2 = sin α − sin α = 0

Beispiel 2:
sin 2 x − sin 2 y = ( sin x + sin y ) ( sin x − sin y )             = 2 sin x + y 2 cos x + y 2 ⋅ 2 sin x − y 2 cos x − y 2             = sin ( x + y ) ⋅ sin ( x − y )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/summen-und-differenzen-trigonometrischer-funktionen (Abgerufen: 20. May 2025, 12:24 UTC)

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