Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen

Herleitung einer Produktdarstellung

Im Folgenden wird für die Summe sin x + sin y eine Produktdarstellung gewonnen. Unter Verwendung der entsprechenden Additionstheoreme ist:
sin ( α + β ) + sin ( α β ) = sin α cos β + cos α sin β + sin α cos β cos α sin β = 2 sin α cos β
Man setzt
α + β = x α β = y ,
woraus (nach Addition bzw. Subtraktion)
α = x + y 2 u n d β = x y 2
folgt. Damit ergibt sich:

sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x y 2

Analog lassen sich die folgenden Beziehungen ableiten:

  • sin x sin y = 2 cos x + y 2 sin x y 2
  • cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x y 2
  • cos x cos y = 2 sin x + y 2 sin x y 2

Beispiel 1:
sin α + sin ( α + 2 3 π ) + sin ( α + 4 3 π ) = sin α + 2 sin ( α + 2 3 π ) + ( α + 4 3 π ) 2 cos ( α + 2 3 π ) ( α + 4 3 π ) 2 = sin α + 2 sin ( α + π ) cos ( 1 3 π ) = sin α 2 sin α cos ( π 3 ) = sin α 2 sin α 1 2 = sin α sin α = 0

Beispiel 2:
sin 2 x sin 2 y = ( sin x + sin y ) ( sin x sin y ) = 2 sin x + y 2 cos x + y 2 2 sin x y 2 cos x y 2 = sin ( x + y ) sin ( x y )

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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