Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen

Herleitung einer Produktdarstellung

Im Folgenden wird für die Summe $\sin x+\sin y$ eine Produktdarstellung gewonnen. Unter Verwendung der entsprechenden Additionstheoreme ist:
$\begin{array}{c}\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\ =2\sin \alpha \cos \beta \end{array}$
Man setzt
$\begin{array}{l}\alpha +\beta =x\\ \alpha -\beta =y,\end{array}$
woraus (nach Addition bzw. Subtraktion)
$\alpha =\frac{x+y}{2}und\beta =\frac{x-y}{2}$
folgt. Damit ergibt sich:

$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$

Analog lassen sich die folgenden Beziehungen ableiten:

• $\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$
• $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
• $\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$

Beispiel 1:
$\begin{array}{l}\sin \alpha +\sin \left(\alpha +\frac{2}{3}\pi \right)+\sin \left(\alpha +\frac{4}{3}\pi \right)\\ =\sin \alpha +2\sin \frac{\left(\alpha +\frac{2}{3}\pi \right)+\left(\alpha +\frac{4}{3}\pi \right)}{2}\cos \frac{\left(\alpha +\frac{2}{3}\pi \right)-\left(\alpha +\frac{4}{3}\pi \right)}{2}\\ =\sin \alpha +2\sin \left(\alpha +\pi \right)\cos \left(-\frac{1}{3}\pi \right)=\sin \alpha -2\sin \alpha \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\\ =\sin \alpha -2\sin \alpha \cdot \frac{1}{2}=\sin \alpha -\sin \alpha =0\end{array}$

Beispiel 2:
$\begin{array}{l}{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}y=\left(\sin x+\sin y\right)\left(\sin x-\sin y\right)\\ =2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x+y}{2}\cdot 2\sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x-y}{2}\\ =\sin \left(x+y\right)\cdot \sin \left(x-y\right)\end{array}$