Goniometrische Gleichungen mit einer Winkelfunktion

Für spezielle Gleichungen, die im praktischen numerischen Rechnen durchaus eine Rolle spielen, lassen sich aber Lösungen auf direktem Wege bestimmen.

Versagen direkte Verfahren, müssen Näherungsverfahren (Sekantennäherungsverfahren, Tangentennäherungsverfahren, allgemeines Iterationsverfahren) eingesetzt werden. Insbesondere ist das dann erforderlich, wenn die Unbekannte nicht nur im Argument trigonometrischer Funktionen auftritt, z.B. in der Gleichung $x\cdot \sin x-x+1=0$.

Im Folgenden werden einige typische Fälle für das Lösen goniometrischer Gleichungen mit einer Winkelfunktion dargestellt.

Bestimmen der Winkel zum gegebenen Wert einer trigonometrischen Funktion

Der einfachste Fall einer goniometrischen Gleichung liegt vor, wenn zum gegebenen Wert einer trigonometrischen Funktion der Winkel zu bestimmen ist.

• Beispiel 1: $\tan x=\mathrm{1,423}$

Unmittelbar folgt $x=arc\tan \mathrm{1,423}$ und dafür liefert der Taschenrechner (oder eine Tabelle der Tangenswerte) die Lösung $x\approx \mathrm{54,9}°$ (bzw. im Bogenmaß $x\approx \mathrm{0,9582}$).

Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist das aber nur der Hauptwert.

Da $\tan x=\tan \left(x+k\cdot 180°\right)mitk\in Z$ gilt, sind $x_1\approx \mathrm{234,9}°,x_2\approx -\mathrm{125,1}°,x_3\approx \mathrm{414,9}°,\mathrm{...}$ weitere Lösungen.

• Beispiel 2: $\cos x=-\mathrm{0,5}$

Es ist $x_0=arc\cos \left(-\mathrm{0,5}\right)=\frac{2}{3}\pi =120°$. Da $\cos x=\cos \left(2\pi -x\right)$ gilt, ist auch $x_1=\frac{4}{3}\pi =240°$ Lösung.

Wegen der Periodizität ergeben sich weitere Lösungen aus $\cos \left(x\pm 2k\pi \right)mitk\in N$ bzw. aus $\cos \left(2\pi -x\pm 2k\pi \right)mitk\in N$.

Anmerkung: Der Taschenrechner liefert als Lösung nur den Hauptwert! Die Lösungen zwischen $0°und360°$ kann man sich am Einheitskreis veranschaulichen.

Lösen goniometrischer Gleichungen durch Substitution

Kompliziertere goniometrische Gleichungen versucht man, durch Substitution auf einfachere Gleichungen zurückzuführen.

• Beispiel 3: $\sin \left(2x+40°\right)=1$

Man setzt $2x+40°=z$, die Gleichung $\sin z=1$ liefert den Wert $z=90°$, und aus $2x+40°=90°$folgt $x=25°$.
Weitere Werte ergeben sich wiederum aus der Periodizität der Sinusfunktion.

• Beispiel 4: $2{\sin }^{2}x-\frac{1}{2}\sqrt{2}=0$

Die Substitution $\sin x=z$ führt auf $2z^2-\frac{1}{2}\sqrt{2}=0$ mit $\left|z\right|=\frac{1}{2}\sqrt[4]{2}\approx \mathrm{0,5946}$ als Lösung.

Aus $z\ge 0$ folgt $\sin x=\mathrm{0,5946}$, also $x_1=\mathrm{36,48}°,x_2=\mathrm{143,52}°$.
Aus $z<0$ folgt $-\sin x=\mathrm{0,5946}$, also $x_3=-\mathrm{36,48}°,x_4=-\mathrm{143,52}°$.

Anmerkung: Bei trigonometrischen Gleichungen ist es immer zu empfehlen, die Ergebnisse durch eine Rechenprobe zu überprüfen. Im speziellen Fall ergibt sich $2{\sin }^2\mathrm{36,48}°-\frac{1}{2}\sqrt{2}\approx \mathrm{0,00015}$, die Abweichung entsteht durch (vorzeitiges) Runden.

Werden Umformungen durchgeführt, die zu nicht (zur Ausgangsgleichung) äquivalenten Gleichungen führen, können die (oder einige der) Lösungen „unbrauchbar“ sein, wie das folgende Beispiel zeigt.

• Beispiel 5: $\sqrt{\sin x+\mathrm{0,5}}=\sin x$

Quadrieren und die Substitution $\sin x=z$ führen über $\sin x+\mathrm{0,5}={\sin }^{2}x$auf die quadratische Gleichung $z^2-z-\mathrm{0,5}=0$ mit den Lösungen $z_1=\mathrm{0,5}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\approx \mathrm{1,3667}$ und $z_2=\mathrm{0,5}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\approx -\mathrm{0,3667}$.

Da aber $\sin x\le 1$ für alle x ist, liefert $z_1$ keine Lösungen. Aus $z_2$ ergibt sich $x_1\approx (-\mathrm{21,47}°)=\mathrm{338,53}°$ und $x_2\approx \mathrm{201,47}°$. Diese x-Werte erfüllen die Ausgangsgleichung.

Goniometrische Gleichungen mit unterschiedlichen Argumenten

Tritt in den Argumenten gleicher trigonometrischer Funktionen die Unbekannte in einer Summe oder Differenz oder als Vielfaches auf, so versucht man durch Anwenden von Additionstheoremen oder aus Additionstheoremen herleitbaren Folgerungen die gegebene Gleichung auf eine solche mit gleichen Argumenten zurückzuführen (gelingt das nicht, bleiben meist nur Näherungsverfahren zum Lösen übrig). Das folgende Beispiel soll die Vorgehensweise illustrieren.

• Beispiel 6: $\cos x=\sin \frac{x}{2}$

Die Gleichung kann durch Anwenden der Beziehung
$\cos x=\cos \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}$
umgeformt werden zu
$1-2{\sin }^2\frac{x}{2}=\sin \frac{x}{2}$.

Die Substitution $\sin \frac{x}{2}=z$ führt auf die quadratische Gleichung $2z^2+z-1=0$ mit den Lösungen $z_1=\mathrm{0,5}und{z}_2=-1$.

Aus $\sin \frac{x}{2}=\mathrm{0,5}$ bzw. $\sin \frac{x}{2}=-1$ lassen sich dann die Lösungen der gegebenen goniometrischen Gleichung bestimmen.