Additionstheoreme für Winkelfunktionen

Sinus der Summe zweier Winkel

  • Für den Sinus der Summe zweier Winkel gilt:
    sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

Für Winkel zwischen 0 °  und  90 ° ergibt sich die Formel für den Sinus der Summe zweier Winkel mithilfe nachstehend angeführter Überlegungen am Einheitskreis.

Sinus der Summe zweier Winkel

Sinus der Summe zweier Winkel

Es ist sin ( α + β ) = x + y .
Aus A B ¯ O A ¯ und B D ¯ O D ¯ folgt:
A B D = α
Dann ist B D ¯ = sin β und O D ¯ = cos β . Für y gilt somit:
y B D ¯ = y sin β = cos α
bzw.
y = cos α sin β
Entsprechend ergibt sich für x :
x O D ¯ = x cos β = sin α
bzw.
x = sin α cos β
Zusammengefasst:
sin ( α + β ) = x + y = sin α cos β + cos α sin β
Für α = β ergibt sich der Sinus des doppelten Winkels wie folgt:
sin 2 α = 2 sin α cos α

Sinus der Differenz zweier Winkel

  • Für den Sinus der Differenz zweier Winkel gilt:
    sin ( α β ) = sin α cos β cos α sin β

Die Formel für den Sinus der Differenz zweier Winkel kann man anhand der folgenden Abbildung gewinnnen.

Sinus der Differenz zweier Winkel

Sinus der Differenz zweier Winkel

Es gilt:
O B ¯ = 1 ; C E ¯ = x ; C D ¯ = y ; B A ¯ = sin ( α β ) = x y O C ¯ = cos β ; B C ¯ = sin β
Weiter ist:
sin α = C E ¯ O C ¯ = C E ¯ cos β bzw. x = C E ¯ = sin α cos β
cos α = C D ¯ B C ¯ = C D ¯ sin β bzw. y = C D ¯ = cos α sin β
Zusammengefasst:
sin ( α β ) = x y = sin α cos β cos α sin β
Anmerkung: Man kommt zu diesem Theorem auch, wenn man in die Formel für den Sinus der Summe zweier Winkel β durch β ersetzt und berücksichtigt, dass cos ( β ) = cos β und sin ( β ) = sin β ist.

Kosinus und Tangens der Summe bzw. Differenz zweier Winkel

Für den Kosinus der Summe bzw. Differenz zweier Winkel kann man die folgende Beziehung herleiten:
cos ( α ± β ) = cos α cos β sin α sin β
Da tan α = sin α cos α ( f ü r cos α 0 ) gilt, ergibt sich für den Tangens der Summe bzw. Differenz zweier Winkel
tan ( α ± β ) = sin ( α ± β ) cos ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β sin α sin β ,
was nach Kürzen durch cos α cos β ( cos α 0 ; cos β 0 ) auf die Form
tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 tan α tan β
führt.

Weitere Beziehungen

Aus diesen Formeln lassen sich einige weitere Beziehungen folgern, die beim Umformen trigonometrischer Ausdrücke (z.B. in goniometrischen Gleichungen) nützlich sind:
sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 tan α 1 + tan 2 α cos 2 α = cos 2 α sin 2 α tan 2 α = 2 tan α 1 tan 2 α

bzw.
sin 3 α = 3 sin α 4 sin 3 α cos 3 α = 4 cos 3 α 3 cos α

Weiter ist:
1 + cos α = 2 cos 2 α 2 1 cos α = 2 sin 2 α 2

  • Beispiel aus der Elektrotechnik:
    Die Beziehung sin ϕ + sin ( ϕ + 120 ° ) + sin ( ϕ + 240 ° ) = 0 erhält man durch einfache Umformungen bei Anwendung obiger Beziehungen.

In einem allgemeineren Sinn versteht man unter einem Additionstheorem eine Funktionalgleichung F ( X , Y , Z ) = 0 , wenn es für X , Y und Z eine Funktion f gibt, so dass X = f ( x ) , Y = f ( y )  und  Z = f ( x + y ) ist.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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