Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten am rechtwinkligen Dreieck (Winkelfunktionen)

Für die in der folgenden Abbildung dargestellten Dreiecke${\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}\text{,}{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}$ und ${\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}$, die zueinander ähnlich sind, gilt nach den Ähnlichkeitssätzen:
$\begin{array}{c}\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}}\right|}\\ \frac{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}}\right|}\\ \frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}\end{array}$

Solche für zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke übereinstimmenden Quotienten (Verhältnisse) werden mit Bezug auf einen der beiden nicht rechten Winkel als der Sinus, der Kosinus, der Tangens bzw. der Kotangens dieses Winkels bezeichnet. Bezogen auf obiges Dreieck, für das die Seiten
$\overline{A_1{C}_1},\overline{A_1{C}_2},\overline{A_1{C}_3}$ die Ankatheten des Winkels $\alpha$,
$\overline{{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\text{,}\overline{{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}}\text{,}\overline{{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}}$ die Gegenkatheten des Winkels $\alpha$,
$\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}\text{,}\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}},\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}}$ Hypotenusen sind, heißt

1. $\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}}\right|}=\frac{\text{Gegenkathete}\text{von}\alpha }{\text{Hypotenuse}}$
   der Sinus des Winkels $\alpha$ (kurz: sin $\alpha$),
2. $\frac{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{2}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{3}}}\right|}=\frac{\text{Ankathete}\text{von}\alpha }{\text{Hypotenuse}}$
   der Kosinus des Winkels $\alpha$ (kurz: cos $\alpha$),
3. $\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{2}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{2}}}\right|}=\frac{\left|\overline{{\text{B}}_{\text{3}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}{\left|\overline{{\text{A}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{3}}}\right|}=\frac{\text{Gegenkathete}\text{von}\alpha }{\text{Ankathete}\text{von}\alpha }$
   der Tangens des Winkels $\alpha$ (kurz: tan $\alpha$).

Der Kehrwert des Tangens eines Winkels $\alpha$ heißt der Kotangens von $\alpha$ (kurz: cot $\alpha$).

Aus der Abbildung kann man zugleich entnehmen:

• Der Sinus des Winkels $\alpha$ ist gleich dem Kosinus des Winkels $\beta$;
• der Kosinus des Winkels $\alpha$ ist gleich dem Sinus des Winkels $\beta$;
• der Tangens des Winkels $\alpha$ ist gleich dem Kotangens des Winkels $\beta$;
• der Kotangens des Winkels $\alpha$ ist gleich dem Tangens des Winkels $\beta$.

Unter Verwendung spezieller rechtwinkliger Dreiecke lassen sich die Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerte einiger Winkel berechnen.

Für jedes durch eine Höhe in zwei zueinander kongruente rechtwinklige Dreiecke geteiltes gleichseitiges Dreieck ABC gilt:
$\alpha =\text{60}°$ und $\beta =\frac{\alpha }{2}=\text{30}°$

Daraus folgt:
$\begin{array}{c}\text{sin}\text{60}°=\frac{\frac{\text{a}}{\text{2}}\sqrt{\text{3}}}{\text{a}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\sqrt{\text{3}};\text{cos}\text{60}°=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{\text{1}}{\text{2}};\\ \text{tan}\text{60}°=\frac{\frac{\text{a}}{\text{2}}\sqrt{\text{3}}}{\frac{\text{a}}{\text{2}}}=\sqrt{\text{3}};\\ \text{sin}\text{30}°=\frac{\frac{\text{a}}{\text{2}}}{\text{a}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{;}\text{cos}\text{30}°=\frac{\frac{\text{a}}{\text{2}}\sqrt{\text{3}}}{\text{a}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\sqrt{\text{3}};\\ \text{tan}\text{30}°=\frac{\frac{\text{a}}{\text{2}}}{\frac{\text{a}}{\text{2}}\sqrt{\text{3}}}=\frac{\text{1}}{\sqrt{\text{3}}}=\frac{\text{1}}{\text{3}}\sqrt{\text{3}}\end{array}$

An einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit $\alpha =\beta =45°$ kann man ablesen:
$\begin{array}{c}\text{sin}\text{45}°=\frac{\text{a}}{\text{a}\sqrt{\text{2}}}=\frac{\text{1}}{\sqrt{\text{2}}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\sqrt{\text{2}}\text{;}\\ \text{cos}\text{45}°=\frac{\text{a}}{\text{a}\sqrt{\text{2}}}=\frac{\text{1}}{\sqrt{\text{2}}}=\frac{\text{1}}{\text{2}}\sqrt{\text{2}}\text{;}\\ \text{tan}\text{45}°=\frac{\text{a}}{\text{a}}=1\end{array}$

Die hier für zueinander ähnliche Dreiecke durchgeführten Betrachtungen können auch auf die Beziehungen der Koordinaten von Punkten eines Einheitskreises und dessen Radius r übertragen werden. Im Einheitskreis gilt:

• $\sin \alpha =\frac{\left|\overline{PQ}\right|}{\left|\overline{OP}\right|}=\frac{v}{r}$
• $\tan \alpha =\frac{\left|\overline{PQ}\right|}{\left|\overline{OQ}\right|}=\frac{v}{u}$
• $\cos \alpha =\frac{\left|\overline{OQ}\right|}{\left|\overline{OP}\right|}=\frac{u}{r}$