Beziehungen zwischen Winkeln und Seiten am rechtwinkligen Dreieck (Winkelfunktionen)

Für die in der folgenden Abbildung dargestellten Dreiecke A 1 B 1 C 1 , A 1 B 2 C 2  und  A 1 B 3 C 3 , die zueinander ähnlich sind, gilt nach den Ähnlichkeitssätzen:
| B 1 C 1 ¯ | | A 1 B 1 ¯ | = | B 2 C 2 ¯ | | A 1 B 2 ¯ | = | B 3 C 3 ¯ | | A 1 B 3 ¯ | | A 1 C 1 ¯ | | A 1 B 1 ¯ | = | A 1 C 2 ¯ | | A 1 B 2 ¯ | = | A 1 C 3 ¯ | | A 1 B 3 ¯ | | B 1 C 1 ¯ | | A 1 C 1 ¯ | = | B 2 C 2 ¯ | | A 1 C 2 ¯ | = | B 3 C 3 ¯ | | A 1 C 3 ¯ |

Zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke

Zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke

Solche für zueinander ähnliche rechtwinklige Dreiecke übereinstimmenden Quotienten (Verhältnisse) werden mit Bezug auf einen der beiden nicht rechten Winkel als der Sinus, der Kosinus, der Tangens bzw. der Kotangens dieses Winkels bezeichnet. Bezogen auf obiges Dreieck, für das die Seiten
A 1 C 1 ¯ , A 1 C 2 ¯ , A 1 C 3 ¯ die Ankatheten des Winkels α ,
B 1 C 1 ¯ , B 2 C 2 ¯ , B 3 C 3 ¯ die Gegenkatheten des Winkels α ,
A 1 B 1 ¯ , A 1 B 2 ¯ , A 1 B 3 ¯ Hypotenusen sind, heißt

  1. | B 1 C 1 ¯ | | A 1 B 1 ¯ | = | B 2 C 2 ¯ | | A 1 B 2 ¯ | = | B 3 C 3 ¯ | | A 1 B 3 ¯ | = Gegenkathete von α Hypotenuse
    der Sinus des Winkels α (kurz: sin α ),
  2. | A 1 C 1 ¯ | | A 1 B 1 ¯ | = | A 1 C 2 ¯ | | A 1 B 2 ¯ | = | A 1 C 3 ¯ | | A 1 B 3 ¯ | = Ankathete von α Hypotenuse
    der Kosinus des Winkels α (kurz: cos α ),
  3. | B 1 C 1 ¯ | | A 1 C 1 ¯ | = | B 2 C 2 ¯ | | A 1 C 2 ¯ | = | B 3 C 3 ¯ | | A 1 C 3 ¯ | = Gegenkathete von α Ankathete von α
    der Tangens des Winkels α (kurz: tan α ).

Der Kehrwert des Tangens eines Winkels α heißt der Kotangens von α (kurz: cot α ).

Aus der Abbildung kann man zugleich entnehmen:

  • Der Sinus des Winkels α ist gleich dem Kosinus des Winkels β ;
  • der Kosinus des Winkels α ist gleich dem Sinus des Winkels β ;
  • der Tangens des Winkels α ist gleich dem Kotangens des Winkels β ;
  • der Kotangens des Winkels α ist gleich dem Tangens des Winkels β .

Unter Verwendung spezieller rechtwinkliger Dreiecke lassen sich die Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerte einiger Winkel berechnen.

Für jedes durch eine Höhe in zwei zueinander kongruente rechtwinklige Dreiecke geteiltes gleichseitiges Dreieck ABC gilt:
α = 60 °  und  β = α 2 = 30 °

Daraus folgt:
sin 60 ° = a 2 3 a = 1 2 3 ; cos 60 ° = a 2 a = 1 2 ; tan 60 ° = a 2 3 a 2 = 3 ; sin 30 ° = a 2 a = 1 2 ; cos 30 ° = a 2 3 a = 1 2 3 ; tan 30 ° = a 2 a 2 3 = 1 3 = 1 3 3

Gleichseitiges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

An einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck mit α = β = 45 ° kann man ablesen:
sin 45 ° = a a 2 = 1 2 = 1 2 2 ; cos 45 ° = a a 2 = 1 2 = 1 2 2 ; tan 45 ° = a a = 1

Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck

Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck

Die hier für zueinander ähnliche Dreiecke durchgeführten Betrachtungen können auch auf die Beziehungen der Koordinaten von Punkten eines Einheitskreises und dessen Radius r übertragen werden. Im Einheitskreis gilt:

  • sin α = | P Q ¯ | | O P ¯ | = v r
  • tan α = | P Q ¯ | | O Q ¯ | = v u
  • cos α = | O Q ¯ | | O P ¯ | = u r
Definition der Winkelfunktionen am Einheitskreis

Definition der Winkelfunktionen am Einheitskreis

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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