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Winkel am Kreis

Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt, Umfangswinkel (Peripheriewinkel), wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und seine Schenkel den Kreis schneiden, Sehnen-Tangenten-Winkel, wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und ein Schenkel den Kreis schneidet, der andere den Kreis berührt.

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Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt, Umfangswinkel (Peripheriewinkel), wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und seine Schenkel den Kreis schneiden, Sehnen-Tangenten-Winkel, wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und ein Schenkel den Kreis schneidet, der andere den Kreis berührt (Bild 1).

  • Winkel am Kreis

Zu jedem Mittelpunkts- und jedem Umfangswinkel gehören eine bestimmte Sehne und ein bestimmter Kreisbogen.

Alle Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß (Bild 2) .

Beweisidee:
A B C D 1 , A B C D 2 usw. sind Sehnenvierecke. Die Winkel in B und D 1 , in B und D 2 usw. ergänzen sich zu 180 ° .

Häufig verwendet man statt „über demselben Bogen“ den Ausdruck „über derselben Sehne“. Dabei muss allerdings beachtet werden, dass zu jeder Sehne, die nicht Durchmesser ist, stets zwei verschiedene Kreisbögen und somit auch zwei verschieden große Umfangswinkel gehören.
Diese gegenüberliegenden Umfangswinkel ergänzen sich zu 180 ° .

Jeder Umfangswinkel über einem Halbkreis (bzw. über dem Durchmesser eines Kreises) ist ein rechter Winkel (Satz des Thales).

Die Umkehrung des Satzes des Thales lautet wie folgt:

Die Scheitelpunkte aller rechten Winkel, deren Schenkel durch A und B verlaufen, liegen auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB.

  • Umfangswinkel

Ein Mittelpunkts- und ein Umfangswinkel heißen einander zugehörig, wenn sie über derselben Sehne liegen und ihre Scheitel auf derselben Seite der Sehne, also über demselben Bogen liegen.
Zu allen Umfangswinkeln über einem Bogen gehört ein Mittelpunktswinkel.
Es gilt der Mittelpunkts-Umfangswinkel-Satz:

Jeder Umfangswinkel über demselben Bogen ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel (Bild 3).

  • Mittelpunkts-Umfangswinkel-Satz

Bewiesen wird der Satz für den Fall, dass der Mittelpunkt des Kreises im Inneren des Umfangswinkels liegt (Bild 4).
Voraussetzung:
A, B und C liegen auf dem Kreis um M; M liegt im Innern von ∢   B C A ( = γ ) ;   ∢   B M A = δ
Behauptung:
δ = 2 ⋅ γ

Beweis:
Die Gerade durch C und M teilt δ und γ .
Es gilt: ∢   M C A = ∢   C A M = γ 1 und ∢   B C M = ∢   M B C = γ 2 (Basiswinkel in den gleichschenkligen Dreiecken AMC bzw. MBC)
Es gilt: δ 1 = 2 ⋅ γ 1     u n d     δ 2 = 2 ⋅ γ 2 (Außenwinkelsatz)
Daraus folgt δ 1 + δ 2 = 2 ( γ 1 + γ 2 ) oder δ = 2 ⋅ γ     ( w .   z .   b .   w . )

Für die anderen beiden Fälle (M liegt auf einem Schenkel bzw. außerhalb des Umfangswinkels) verläuft der Beweis analog.

  • Beweisfigur zum Mittelpunkts-Umfangswinkel-Satz
  • Jeder Sehnen-Tangenten-Winkel ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel.
  • Jeder Sehnen-Tangenten-Winkel ist so groß wie der zugehörige Umfangswinkel (Bild 5).

 

  • Sehnen-Tangenten-Winkel
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Winkel am Kreis." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/winkel-am-kreis (Abgerufen: 20. May 2025, 13:14 UTC)

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  • Mittelpunkts-Umfangswinkel-Satz
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Geraden am Kreis


Geraden und Kreise können verschiedene Lagen zueinander haben:

  • Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante (Schneidende). Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, nennt man Zentrale.
  • Die Strecke zwischen den Punkten A und B ist eine Sehne des Kreises. Die längste Sehne im Kreis ist der Durchmesser d.
  • Eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt, heißt Tangente (Berührende).
  • Eine Gerade, die den Kreis in keinem Punkt schneidet, heißt Passante (Vorbeigehende).

Kreiszahl

Der Umfang eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser.
Der Proportionalitätsfaktor heißt Kreiszahl und wird mit dem griechischen Buchstaben π (gesprochen: pi) bezeichnet.

Sehnensatz

Schneiden in einem Kreis zwei Sehnen einander, so ist das Produkt der beiden Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne.

Sehnenviereck

Besitzt ein Viereck einen Umkreis, so nennt man es Sehnenviereck.
Alle gleichschenkligen Trapeze, alle Rechtecke und damit auch alle Quadrate besitzen einen Umkreis.
Unter dem Umkreis eines n-Ecks versteht man den Kreis, der durch alle Eckpunkte des n-Ecks geht. Die Seiten des n-Ecks sind Sehnen des Umkreises.
Für alle Sehnenvierecke gilt folgender Satz:
Die Summe gegenüberliegender Winkel im Sehnenviereck ist 180°.

Satz des Thales

Satz des Thales:
Jeder Umfangswinkel über einem Halbkreis (bzw. über dem Durchmesser eines Kreises) ist ein rechter Winkel.

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