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Sehnensatz

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Schneiden in einem Kreis zwei Sehnen einander, so ist das Produkt der beiden Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne (Bild 1).

Beweis des Sehnensatzes
Voraussetzung:
AC und BD sind zwei Sehnen im Kreis.
S ist Schnittpunkt der Sehnen.

Behauptung:
A S ¯ ⋅ S C ¯ = B S ¯ ⋅ S D ¯

Beweis:
Die Strecken AB und CD sind auch Sehnen des Kreises,
also gilt ∢   B D A = ∢   B C A und ∢   D B C = ∢   D A C (Umfangswinkelsatz) und Dreieck ASD ist ähnlich Dreieck CSB (Hauptähnlichkeitssatz).
Damit gilt:
A S ¯ : B S ¯ = S D ¯ : S C ¯ also auch A S ¯ ⋅ S C ¯ = B S ¯ ⋅ S D ¯ (w. z. b. w.)

  • Sehnensatz

Für den Spezialfall, dass eine Sehne Durchmesser des Kreises und die andere Sehne dazu senkrecht ist, liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor, weil nach dem Satz des Thales jeder Umfangswinkel über dem Durchmesser ein rechter Winkel ist (Bild 2).

  • Spezialfall Sehnensatz
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Sehnensatz." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/sehnensatz (Abgerufen: 09. June 2025, 16:04 UTC)

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Möndchen des Hippokrates

HIPPOKRATES VON CHIOS (griechischer Mathematiker, um 440 v. Chr.) war der berühmteste Geometer des 5. Jh. v. Chr. Von ihm stammt nach Überlieferung die erste zusammenfassende Darstellung geometrischen Wissens seiner Zeit unter dem Titel „Elemente“ nach dem Schema Voraussetzung, Satz und Beweis.
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Kreis

Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r haben.
M heißt Mittelpunkt, und die Strecke der Länge r, die jeden Punkt des Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet, heißt Radius.
Nach dieser Definition ist der Kreis eine Linie, die Kreislinie. Der Mittelpunkt M gehört nach dieser Definition nicht zum Kreis.
Alle Randpunkte und alle inneren Punkte eines Kreises bilden gemeinsam die Fläche des Kreises, die Kreisfläche.
Aus dem Zusammenhang wird meist deutlich, ob mit dem Wort „Kreis“ die Kreislinie oder die Kreisfläche gemeint ist.

Thales

THALES VON MILET (etwa 624 bis 548 v. Chr.), ionischer Philosoph und Mathematiker (Geometer)
* um 624 v. Chr.
† um 548 v. Chr.

THALES VON MILET beschäftigte sich neben philosophischen Fragen vor allem mit geometrischen Problemen. Er bewies u. a., dass jeder Peripheriewinkel (Umfangswinkel) über dem Halbkreis ein rechter ist (Satz des Thales).

Apollonioskreis

Die Menge aller der Punkte P (einer Ebene), die von einem festen Punkt A doppelt so weit entfernt sind, wie von einem zweiten festen Punkt B, liegt auf einem Kreis, dem sogenannten Apollonios-Kreis.

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