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Sehnensatz

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Schneiden in einem Kreis zwei Sehnen einander, so ist das Produkt der beiden Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne (Bild 1).

Beweis des Sehnensatzes
Voraussetzung:
AC und BD sind zwei Sehnen im Kreis.
S ist Schnittpunkt der Sehnen.

Behauptung:
A S ¯ ⋅ S C ¯ = B S ¯ ⋅ S D ¯

Beweis:
Die Strecken AB und CD sind auch Sehnen des Kreises,
also gilt ∢   B D A = ∢   B C A und ∢   D B C = ∢   D A C (Umfangswinkelsatz) und Dreieck ASD ist ähnlich Dreieck CSB (Hauptähnlichkeitssatz).
Damit gilt:
A S ¯ : B S ¯ = S D ¯ : S C ¯ also auch A S ¯ ⋅ S C ¯ = B S ¯ ⋅ S D ¯ (w. z. b. w.)

  • Sehnensatz

Für den Spezialfall, dass eine Sehne Durchmesser des Kreises und die andere Sehne dazu senkrecht ist, liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor, weil nach dem Satz des Thales jeder Umfangswinkel über dem Durchmesser ein rechter Winkel ist (Bild 2).

  • Spezialfall Sehnensatz
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Sehnensatz." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/sehnensatz (Abgerufen: 15. July 2025, 08:49 UTC)

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Geraden am Kreis


Geraden und Kreise können verschiedene Lagen zueinander haben:

  • Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet, heißt Sekante (Schneidende). Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, nennt man Zentrale.
  • Die Strecke zwischen den Punkten A und B ist eine Sehne des Kreises. Die längste Sehne im Kreis ist der Durchmesser d.
  • Eine Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt, heißt Tangente (Berührende).
  • Eine Gerade, die den Kreis in keinem Punkt schneidet, heißt Passante (Vorbeigehende).

Winkel am Kreis

Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sein Scheitel im Kreismittelpunkt liegt, Umfangswinkel (Peripheriewinkel), wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und seine Schenkel den Kreis schneiden, Sehnen-Tangenten-Winkel, wenn sein Scheitel auf dem Kreis liegt und ein Schenkel den Kreis schneidet, der andere den Kreis berührt.

Kreiszahl

Der Umfang eines Kreises ist proportional zu seinem Durchmesser.
Der Proportionalitätsfaktor heißt Kreiszahl und wird mit dem griechischen Buchstaben π (gesprochen: pi) bezeichnet.

Sehnenviereck

Besitzt ein Viereck einen Umkreis, so nennt man es Sehnenviereck.
Alle gleichschenkligen Trapeze, alle Rechtecke und damit auch alle Quadrate besitzen einen Umkreis.
Unter dem Umkreis eines n-Ecks versteht man den Kreis, der durch alle Eckpunkte des n-Ecks geht. Die Seiten des n-Ecks sind Sehnen des Umkreises.
Für alle Sehnenvierecke gilt folgender Satz:
Die Summe gegenüberliegender Winkel im Sehnenviereck ist 180°.

Satz des Thales

Satz des Thales:
Jeder Umfangswinkel über einem Halbkreis (bzw. über dem Durchmesser eines Kreises) ist ein rechter Winkel.

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