Auflösungsvermögen optischer Geräte

Ein wichtiges Kriterium für die Qualität von optischen Geräten ist ihr Auflösungsvermögen. Es ist ein Maß dafür, ob zwei eng benachbart liegende Gegenstandspunkt mit dem optischen Gerät noch als getrennte Punkte wahrgenommen werden können.
Entscheidend für das Auflösungsvermögen ist, dass bei allen optischen Geräten (z.b. Auge, Mikroskop, Fernrohr) Blenden oder Fassungen vorhanden sind. Das bedeutet: Aufgrund des Wellencharakters von Licht tritt an Blenden und Fassungen Beugung auf. Damit wird ein Gegenstandspunkt auf einem Schirm nicht als Punkt abgebildet, sondern als ein Beugungsscheibchen (Bild 1). Dabei tritt ein ausgeprägtes Hauptmaximum (Maximum 0. Ordnung) und mehrere Nebenmaxima auf (Bild 1 rechts).

Ob zwei Gegenstandspunkte unterscheidbar sind, hängt davon ab, ob man ihrer Beugungsscheibchen noch voneinander unterscheiden kann (Bild 2). Eine solche Unterscheidung ist dann eindeutig möglich, wenn das Hauptmaximum (0. Maximum) des Beugungsbildes des einen Punktes mindestens im 1. Minimum des Beugungsbildes des anderen Punktes liegt.
Betrachtet man einen Spalt, so gilt für das Minimum 1. Ordnung die Beziehung:
$\sin \alpha =\frac{\lambda }{d}$
Für kreisförmige Öffnungen, so wie sie bei optischen Geräte einschließlich dem Auge in der Regel vorhanden sind, liefert die Theorie die Beziehung:
$\begin{array}{l}\sin \alpha =\mathrm{1,22}\cdot \frac{\lambda }{d}\\ \text{Da für sehr kleine Winkel sin}\alpha \approx \alpha \text{gesetzt werden kann}\\ \text{und der Winkel}\alpha \text{der minimale Winkel ist}\text{, lässt sich diese}\\ \text{Beziehung auch folgendermaßen schreiben:}\\ \alpha \ge \mathrm{1,22}\cdot \frac{\lambda }{d}\\ \lambda \text{Wellenlänge des genutzten Lichtes}\\ d\text{Durchmesser der Öffnung}\end{array}$

Unter Nutzung der genannten Beziehung wird das Auflösungsvermögen A folgendermaßen definiert:
$\begin{array}{l}A=\frac{1}{r_{\min }}=\frac{1}{\mathrm{1,22}}\cdot \frac{d}{f\cdot \lambda }\\ r_{\min }\text{Mindestabstand zweier Gegenstandspunkte}\\ \text{d Durchmesser der Öffnung}\\ \text{f Brennweite der Linse}\\ \lambda \text{Wellenlänge des Lichtes}\end{array}$
Damit beträgt der minimale Abstand, den zwei Punkte noch haben können, um als getrennte Punkte wahrnehmbar zu sein:
$r_{\min }\approx \frac{\lambda \cdot f}{d}$
Geht man beim menschlichen Auge von einem Pupillendurchmesser von 5 mm, einer Brennweite von ca. 20 mm und einer Wellenlänge von 600 nm aus, dann ergäbe sich ein Wert von $r_{\min }=\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-3}\text{m}$. Bezieht man den Wert auf eine Entfernung von 1 m, dann könnte man mit den gerade noch zwei Punkte als getrennte Punkte wahrnehmen, wenn sie einen Abstand von 0,12 mm voneinander haben. In der Literatur wird meist ein Wert von 0,2 mm oder ein Sehwinkel von 1/60° = 0,017° angegeben. Das Auflösungsvermögen des durchschnittlichen menschlichen Auges beträgt damit:
$A\approx \frac{1}{r_{\min }}\approx \frac{1}{\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-3}\text{m}}\approx 420{\text{m}}^{\text{-1}}$