Bernoullisches Gesetz

Formulierungen des bernoullischen Gesetzes

Für reibungsfrei strömende Flüssigkeiten und Gase gilt das bernoullische Gesetz, das auch als bernoullische Gleichung bezeichnet wird. Es ist der Energieerhaltungssatz für reibungsfreie Strömungen und besagt:

Die Summe aus dem statischen Druck, dem Schweredruck und dem Staudruck ist für eine reibungsfreie Strömung konstant. Es gilt:

p+pS+pSt= konstantp statischer DruckpS SchweredruckpSt dynamischer Druck oder Staudruck

Statischer Druck ist der senkrecht zur Strömungsrichtung gemessene Druck, der in Bild 1 dargestellt ist. Der Schweredruck ist der infolge der Gewichtskraft der Flüssigkeit entstehende Druck. Er spielt nur dann eine Rolle, wenn eine Strömung nicht horizontal verläuft. Der Staudruck, auch dynamischer Druck genannt, ist derjenige, der in Strömungsrichtung aufgrund der bewegten Flüssigkeit oder des bewegten Gases wirkt.
Das bernoullische Gesetz kann auch in folgender Form geschrieben werden:

p+ρgh+12ρv2=konstantp statischer Druckρ Dichte des strömenden Stoffesh Höhev Strömungsgeschwindigkeit

Herleitung des bernoullischen Gesetzes

Das bernoullische Gesetz lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz der Mechanik herleiten. Es ist somit legitim, es als Energieerhaltungssatz für reibungsfreie Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen zu bezeichnen.
Zur Herleitung betrachten wir die in Bild 2 dargestellte Strömung eines Volumenelements. Nach dem Energieerhaltungssatz und dem Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie folgt für den in Bild 2 dargestellten Fall:

W=ΔEpot+ΔEkin (1)Die Arbeit W lässt sich folgendermaßen ausdrücken:W=FΔs und mit F=pAW=pAΔs oderW=pΔVDabei ist p der Druckunterschied zwischen den beidenbetrachteten Stellen, sodass man schreiben kann:W=(p2p1)ΔV (2)Für die Änderung der potenziellen Energie ergibt sich:ΔEpot=(h1h2)gΔm (3)Für die Änderung der kinetischen Energie erhält man:ΔEkin=12Δm(v12v22) (4)Setzt man die Terme (2), (3) und (4) in (1) ein, so erhält man:(p2p1)ΔV=(h1h2)gΔm+12Δm(v12v22)Mit Δm=ρΔV und Division durch ΔV ergibt sich:p2p1=(h1h2)gρ+12ρ(v12v22)
Löst man die Klammern auf und ordnet die Terme nach den Indizes 1 und 2, so erhält man:

p1+ρgh1+12ρv12=p2+ρgh2+12ρv22oderp+ρgh+12ρv2= konstant

Verläuft die Strömung horizontal, dann spielt der Schweredruck keine Rolle und es ergibt sich:

p+12ρv2= konstant

Das bedeutet: Bei horizontaler Strömung ist die Summe aus statischem Druck und Staudruck gleich dem Gesamtdruck. Eine Vergrößerung der Strömungsgeschwindigkeit führt zu einer Verkleinerung des statischen Druckes, so wie das in Bild 1 dargestellt ist. Dieser Zusammenhang spielt für praktische Anwendungen eine wichtige Rolle.

Anwendungen des bernoullischen Gesetzes

Der Zusammenhang, der im bernoullischen Gesetz beschrieben ist, wird teilweise genutzt, teilweise ist er auch unerwünscht und kann sogar zu Schäden führen.
Genutzt wird der Zusammenhang zwischen Strömungsgeschwindigkeit und Druck z. B. bei einer Wasserstrahlpumpe (Bild 3). Eine solche Pumpe besteht aus einem Rohr mit Düse, durch das Wasser strömt. Darum befindet sich ein zweites Rohr. Dieses Rohr wird mit einem Raum verbunden, aus dem Luft herausgepumpt werden soll. Wenn Wasser durch das Rohr strömt, dann erreicht es im Bereich der Düse wegen des kleinen Rohrquerschnitts eine große Geschwindigkeit. Nach dem bernoullischen Gesetz ist in diesem Bereich der statische Druck sehr klein. Infolge dieses kleinen Druckes wird Luft aus der Umgebung angesaugt. Der Druck in dem Gefäß rechts (Bild 2) verringert sich solange, bis er näherungsweise gleich dem statischen Druck in der Nähe der Düse ist.

Eine andere Anwendung ist der Zerstäuber (Bild 4). Bei einem solchen Zerstäuber strömt Luft durch eine Düse. Die Strömungsgeschwindigkeit ist im Bereich der Düse relativ groß, der statische Druck nach dem bernoullischen Gesetz demzufolge klein. Durch diesen kleinen Druck wird die Flüssigkeit, die sich in einem Gefäß befindet (Bild 3), regelrecht angesaugt. Sie tritt aus einer Öffnung aus und wird durch die schnell strömende Luft zerstäubt.

Bei Sturm kann es passieren, dass ein Hausdach abgedeckt wird. Ursache dafür ist zumeist der Zusammenhang zwischen der Strömungsgeschwindigkeit der Luft und dem statischen Druck. Strömt Luft sehr schnell gegen ein Dach, so ist die Strömungsgeschwindigkeit auf der Seite des Daches besonders groß, die in Richtung der strömenden Luft liegt (in Bild 4 rechts). Demzufolge ist dort der statische Druck relativ klein. Im Haus selbst herrscht aber der normale Luftdruck. Durch diesen Druckunterschied können ein ganzes Dach oder Teile davon abgehoben werden.
Einen ähnlichen Effekt kann man bei starkem Wind manchmal bei einem Regenschirm beobachten. Durch den kleinen statischen Druck an der Oberseite des Schirmes kann der Schirm „umklappen“.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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