Geladene Teilchen in elektrischen Feldern

Auf ein geladenes Teilchen wirkt im homogenen elektrischen Feld der konstanten Feldstärke E die konstante Feldkraft ${\overrightarrow{F}}_{\text{el}}=Q\cdot \overrightarrow{E}$, wobei Q die Ladung des Teilchens ist. Die Masse m des Ladungsträgers erfährt nach dem newtonschen Grundgesetz der Mechanik die Beschleunigung
$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\frac{{\overrightarrow{F}}_{\text{el}}}{m}.\\ \text{Das Einsetzen des Ausdrucks für die Feldkraft ergibt:}\\ \overrightarrow{a}=\frac{Q\cdot \overrightarrow{E}}{m}\text{oder}\overrightarrow{a}=\frac{Q}{m}\cdot \overrightarrow{E}\\ \text{Der Quotient}\frac{Q}{m}\text{ist die spezifische Ladung}\text{, die bei Elektronen}\\ \text{einen Betrag von}\frac{e}{m}=\mathrm{1,759}\cdot {10}^{11}\frac{\text{C}}{\text{kg}}\text{hat}\text{.}\end{array}$

Diese Bewegung wollen wir im Folgenden genauer untersuchen und unterscheiden dazu, analog zur Kinematik eines Massepunktes, zwei Fälle:

(1) Anfangsgeschwindigkeit ist parallel zu den Feldlinien

Ein positiv geladenes Teilchen mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ , der Masse m und der Ladung Q bewege sich parallel zu den Feldlinien eines homogenen elektrischen Feldes, z. B. eines Plattenkondensators (Bild 1).
Entsprechend der Beziehung (1) wird dieser Ladungsträger mit

in Richtung der Feldstärke beschleunigt. Hat die Ladung ein negatives Vorzeichen, so erfährt sie eine Beschleunigung gegen die Feldrichtung.
Da die wirkende Kraft und die Geschwindigkeit gleichgerichtet sind, reicht eine Betrachtung der Beträge aus. Nach der Zeit t hat die Ladung den Weg

zurückgelegt. Dies ist das aus der Kinematik bekannte Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, wobei die Beschleunigung a durch die oben abgeleitete Beschleunigung im konstanten elektrischen Feld ersetzt wurde. Differenzieren der Beziehung nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Man erhält:

In vielen Fällen kann die Anfangsgeschwindigkeit des geladenenTeilchens vernachlässigt werden. Ein Beispiel dafür sind Elektronen, die mit der Austrittsgeschwindigkeit v = 0 von einer Katode emittiert werden. Für die zurückgelegte Strecke gilt dann
$\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}\frac{Q}{m}\cdot E\cdot t^2\\ \text{und für die Geschwindigkeit}\\ v=\frac{Q}{m}\cdot E\cdot t.\end{array}$

Stellt man die zuletzt genannte Gleichung nach der Zeit um und setzt diese Zeit in die Gleichung für den Weg y ein, so erhält man:

$\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}\frac{Q}{m}\cdot E\cdot {\left(\frac{m\cdot v}{Q\cdot E}\right)}^2\\ \text{Durch Quadrieren und Kürzen erhält man:}\\ y=\frac{1}{2}\frac{m\cdot v^2}{Q\cdot E}\\ \text{Umgestellt nach der Geschwindigkeit}v\text{ergibt:}\\ v=\sqrt{\frac{2Q\cdot E\cdot y}{m}}\\ \text{Da im homogenen elektrischen Feld das Produkt}E\cdot y\\ \text{gleich der Spannung}U\text{ist}\text{, kann man auch schreiben:}\\ v=\sqrt{2U\cdot \frac{Q}{m}}\\ \text{Für Elektronen lautet die Gleichung dann:}\\ v=\sqrt{2U\cdot \frac{e}{m}}\end{array}$
Die Geschwindigkeit eines geladenen Teilchens hängt also von seiner spezifischen Ladung und von der Spannung ab.

(2) Anfangsgeschwindigkeit ist senkrecht zu den Feldlinien

Ein geladenes Teilchen wird beim Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung gemäß Gleichung der zuletzt abgeleiteten Gleichung auf die Geschwindigkeit

beschleunigt und anschließend senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen elektrischen Feldes, wie es z. B. zwischen den Platten eines Plattenkondensators besteht, eingebracht. Unter der Wirkung der elektrischen Kraft vollzieht das Teilchen eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in Feldrichtung, die sich mit der gleichförmigen Bewegung senkrecht zu den Feldlinien überlagert (Bild 2).

Als Bahnkurve entsteht wie beim waagerechten Wurf eine parabelförmige Bahn. Nach dem Gesetz der ungestörten Überlagerung ( Superpositionsprinzip ) setzt sie sich zusammen aus der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung mit $v_{\text{x}}=v_0$ und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in y-Richtung. Die Beschleunigung in dieser Richtung beträgt
$\begin{array}{l}a=\frac{F}{m}=\frac{Q\cdot E}{m},\\ \text{die Geschwindigkeit in dieser Richtung ist dann}\\ v_{\text{y}}=a\cdot t=\frac{Q\cdot E}{m}\cdot t.\end{array}$

Für die zurückgelegten Wege zur Zeit t gilt analog zum waagerechten Wurf:

Eliminiert man aus den beiden Gleichungen die Zeit, indem man die erste Glecihung nach t auflöst in in die zweite Gleichung einsetzt, so erhält man die Gleichung für die Bahnkurve:

Das geladeneTeilchen bewegt sich also auf einer Parabel durch den Kondensator. Da die Gravitationskraft im Vergleich zur Feldkraft vernachlässigbar ist, wurde diese zur Herleitung der Bahnkurve nicht berücksichtigt. Sie kann auch bei Anwendungen vernachlässigt werden.

Als nächstes soll der Austrittswinkel $\alpha$ berechnet werden (Bild 2). Allgemein gilt für die Ablenkung:
$\tan \varphi =\frac{v_{\text{y}}}{v_{\text{x}}}=\frac{Q\cdot E}{m\cdot v_0}t$

Um daraus den Austrittswinkel berechnen zu können, muss in die Gleichung die Zeit eingesetzt werden, die das Teilchen zum Durchqueren des Plattenkondensators benötigt. Sie beträgt:
$t=\frac{b}{v_0}$
Zusätzlich kann die elektrische Feldstärke E (sie errechnet sich aus dem Quotienten der anliegenden Spannung U und dem Plattenabstand d) sowie die Anfangsgeschwindigkeit eliminiert werden. Man erhält:
$\tan \alpha =\frac{b\cdot U}{2d\cdot U_{\text{B}}}$
Die Ablenkung eines geladenen Teilchens, das senkrecht zu den Feldlinien eingeschossen wird, ist also proportional zur Länge des Kondensators und proportional zur anliegenden Spannung. Dagegen nimmt die Ablenkung bei zunehmendem Plattenabstand sowie zunehmender Anfangsgeschwindigkeit bzw. Beschleunigungsspannung ab.

Die Elektronenstrahlröhre - Eine Anwendung im Alltag

Die Elektronenstrahlröhren stellen eine praktische Anwendung der hier dargelegten Theorie da. Sie werden nach ihrem Erfinder, dem deutschen Physiker KARL FERDINAND BRAUN (1850 - 1918), auch braunsche Röhren genannt. Eingesetzt werden sie zur Erzeugung von Bildern, z. B. in Oszillografen. Bei Fernsehbildröhren wird in der Regel eine magnetische Ablenkung genutzt.
Prinzipiell besteht eine Elektronenstrahlröhre aus einem System zur Erzeugung eines Elektronenstrahls, einem Ablenksystem und einem Leuchtschirm (Bild 3). Mit Heizung, Katode, Anode und Wehneltzylinder wird ein Elektronenstrahl erzeugt, der zur Anode beschleunigt wird und sich aufgrund seiner Trägheit durch diese weiterbewegt. Der Wehneltzylinder, benannt nach dem deutschen Physiker ARTHUR WEHNELT (1871-1944), dient dabei der Helligkeitssteuerung. Durch das Ablenksystem wird der Elektronenstrahl horizontal und vertikal so abgelenkt, dass er an einem bestimmten Punkt auf den Leuchtschirm auftrifft. Dort bringt er die Leuchtschicht an der inneren Seite des Schirms zum Leuchten.