Schwingende Flüssigkeitssäulen und schwimmende Körper

Wir betrachten nachfolgend beide Beispiel genauer und leiten Gleichungen für die Schwingungsdauer ab.

Schwingungen einer Flüssigkeitssäule

In einem U-Rohr befindet sich eine Flüssigkeit. Ist dieses Rohr waagerecht angeordnet, so steht die Flüssigkeitssäule in beiden Rohren gleich hoch, denn es handelt sich um verbundene Gefäße. Wird die Flüssigkeitssäule ausgelenkt (Bild 1) und dann sich selbst überlassen, so schwingt die Flüssigkeitssäule in dem U-Rohr hin und her. Man spricht dann von Schwingungen einer Flüssigkeitssäule.
Diese Schwingungen sind harmonisch. Eine harmonische Schwingung liegt dann vor, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist.
Für die rücktreibende Kraft gilt:

$\begin{array}{l}F=-p\cdot A,\text{wobei}p\text{der Druck und}A\text{die Querschnittsfläche}\\ \text{des U-Rohres sind}\text{.}\\ \text{Mit}p=\rho \cdot g\cdot 2h\text{und}A=\frac{\pi \cdot d^2}{4}\text{erhält man:}\\ F=-\left(\frac{1}{2}\rho \cdot g\cdot \pi \cdot d^2\right)h\\ \text{Da für eine bestimmte Flüssigkeit und ein gegebenes}\\ \text{U-Rohr die Größen}\rho \text{und}d\text{und damit auch der}\\ \text{gesamte Term in der Klammer konstant sind}\text{, ist}\\ F\sim h.\\ \text{Es liegt folglich eine harmonische Schwingung vor}\text{.}\end{array}$

Für die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung gilt:
$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}$
Die Richtgröße D ergibt sich aus den Betrachtungen zur rücktreibenden Kraft zu:
$\begin{array}{l}D=\frac{1}{2}\rho \cdot g\cdot \pi \cdot d^2\text{(1)}\\ \text{Für die Masse}m\text{kann man bei Anwendung der Definition}\\ \text{der Dichte schreiben:}\\ m=\rho \cdot V\text{(2)}\\ \text{Setzt man die Gleichungen (1) und (2) in die Gleichung}\\ \text{für die Schwingungsdauer}T\text{ein}\text{, so erhält man:}\\ T=2\pi \sqrt{\frac{2\rho \cdot V}{\rho \cdot g\cdot \pi \cdot d^2}}\text{oder vereinfacht}\\ T=\frac{2\pi }{d}\sqrt{\frac{2V}{g\cdot \pi }}\end{array}$

Die letzte Gleichung kann man auch in anderer Form schreiben:

$\begin{array}{l}\text{Setzt man für das Volumen der Flüssigkeit}\\ V=A\cdot l=\frac{\pi \cdot d^2}{4}\cdot l,\text{dann erhält man:}\\ T=\frac{2\pi }{d}\cdot \sqrt{\frac{2\pi \cdot d^2\cdot l}{4g\cdot \pi }}\\ \text{Die Vereinfachung dieser Gleichung ergibt:}\\ T=2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}\end{array}$

Das bedeutet: Die Schwingungsdauer einer Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr ist nur von der Länge der Flüssigkeitssäule abhängig. Sie ist unabhängig davon, um was für eine Flüssigkeit es sich handelt, welchen Durchmesser das U-Rohr hat und wie stark die Flüssigkeit ausgelenkt wird. Aus der Gleichung kann man auch ableiten: Die Schwingungsdauer einer Flüssigkeitssäule mit der Länge l ist genauso groß wie die eines Fadenpendels der halben Länge.
Eine Gleichung für die Frequenz ergibt sich aus f = 1/T.
Praktisch genutzt werden die Schwingungen solcher Wassersäulen in Schlingertanks. Das sind Anordnungen auf Schiffen, die der Hin- und Herbewegung entgegenwirken.

Schwingungen eines Körpers, der in einer Flüssigkeit schwimmt

Ein zylinderförmiger Körper schwimmt in einer Flüssigkeit (Bild 2). Wird er ein Stück eingetaucht und dann sich selbst überlassen, so führt er Schwingungen in vertikaler Richtung aus.
Auch in diesem Falle kann man zunächst nachweisen, dass diese Schwingungen harmonisch sind. Eine harmonische Schwingung liegt dann vor, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. Die rücktreibende Kraft ist hier gleich der durch das Eintauchen zusätzlich auftretenden Auftriebskraft.
Für die Auftriebskraft gilt allgemein:

$\begin{array}{l}{F}_A={\rho }_{Fl}\cdot V\cdot g\\ {\rho }_{Fl}\text{Dichte der Flüssigkeit}\\ V\text{verdrängtes Flüssigkeitsvolumen}\\ \text{(}=\text{Volumen des eingetauchten Teils}\\ \text{des Körpers)}\\ g\text{Ortsfaktor}\end{array}$

Damit erhält man für die rücktreibende Kraft beim zusätzlichen Eintauchen des Körpers um die Strecke s:

$\begin{array}{l}{F}_{rück}=-{\rho }_{Fl}\cdot \Delta V_K\cdot g\text{und mit}\Delta V_K=A\cdot s\\ F_{rück}=-({\rho }_{Fl}\cdot A\cdot g)\cdot s\\ \text{Es gilt also:}\\ F_{rück}\sim s\end{array}$

Um eine Gleichung für die Schwingungsdauer herzuleiten, kann man wiederum von der allgemeinen Gleichung für die Schwingungsdauer einer harmonischen Schwingung ausgehen, die lautet:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}$

Die Masse m des schwingenden Körpers ist:

$m={\rho }_K\cdot V_K={\rho }_K\cdot A\cdot h\text{(1)}$

Die Richtgröße D ergibt sich aus den Betrachtungen zur rücktreibenden Kraft zu:

$D={\rho }_{Fl}\cdot A\cdot g\text{(2)}$

Damit erhält man für die Schwingungsdauer eines schwimmenden Körpers durch Einsetzen von (1) und (2):

$\begin{array}{l}T=2\pi \sqrt{\frac{{\rho }_K\cdot A\cdot h}{{\rho }_{Fl}\cdot A\cdot g}}\text{und nach Vereinfachung:}\\ T=2\pi \sqrt{\frac{{\rho }_K\cdot h}{{\rho }_{Fl}\cdot g}}\end{array}$

Das bedeutet: Die Schwingungsdauer hängt von den Dichten von Flüssigkeit und Körper sowie von der Höhe des Körpers ab. Sie ist unabhängig von der Fläche des Körpers und von der Eintauchtiefe. Eine Gleichung für die Frequenz ergibt sich aus f = 1/T.