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Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für $x\to \pm \infty$ gilt $\left|f(x)\right|=+\infty$.

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
$\text{f(x)}=\frac{\text{p(x)}}{\text{q(x)}}$.

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Eine Funktion $f$, deren Funktionsterm ein Polynom ist, heißt ganzrationale Funktion (bzw. Polynomfunktion).
Ganzrationale Funktionen haben die folgende Form:
$\begin{array}{l}f\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0\\ (\text{mit }n\in \mathbb{N}\text{ und }{a}_i\in ℝ)\end{array}$
Ist $a_n\ne 0$, so hat $f$ den Grad $n$.