Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 6 Differenzialrechnung
  4. 6.5 Untersuchung von Funktionseigenschaften
  5. 6.5.4 Verhalten im Unendlichen
  6. Asymptoten (asymptotische Linien)

Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für x → ±   ∞ gilt |   f ( x )   | = +   ∞ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
f(x) = p(x) q(x) .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Wie das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion für x → ±   ∞ im Einzelnen aussieht, hängt vom Grad n der Zählerfunktion p(x) und vom Grad m der Nennerfunktion q(x) ab. Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

  1. Fall: n < m

Sei f(x) = 4x x 2 + 3 mit n = 1 und m = 2 eine gebrochenrationale Funktion, die für alle x ∈ ℝ definiert ist.

  • Waagerechte Asymptote (x-Achse)

Um Aussagen über das „Grenzverhalten“ der Funktion f machen zu können, sind die Grenzwerte lim x → +   ∞ f(x)         und       lim x → −   ∞ f(x) zu bilden. Es gilt:
  lim x → +   ∞ 4 x x 2 + 3 = lim x → +   ∞ 4 x 1 + 3 x 2 = 0         u n d         lim x → −   ∞ 4 x x 2 + 3 = lim x → −   ∞ 4 x 1 + 3 x 2 = 0

In dem Fall ist also die x-Achse waagerechte Asymptote.

  1. Fall: n = m

Gegeben sei die Funktion f(x) = 3x + 1 x + 1 .
Diese Funktion hat an der Stelle x 0 = − 1 eine Polstelle.

  • Waagerechte Asymptote (Parallele zur x-Achse)

Für die Grenzwerte lim x → +   ∞ f(x)         und       lim x → −   ∞ f(x) ergibt sich:
  lim x → ±   ∞ 3 x + 1 x + 1 = lim x → ±   ∞ 3 + 1 x 1 + 1 x = 3

Das heißt, die Gerade y = 3 ist eine waagerechte Asymptote.

  1. Fall: n = m + 1

Bei der Funktion f ( x ) = x 2 + x − 2 x + 1 ist der Grad der Zählerfunktion um 1 größer als der Grad der Nennerfunktion.

  • Schiefe Asymptote (Winkelhalbierende y = x)

Um eine genaue Aussage über das Verhalten von f(x) für x → ±   ∞ machen zu können, dividiert man das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom, dadurch wird der Funktionsterm in eine Summe aus einem ganzrationalen und einem gebrochenrationalen Term zerlegt:
      ( x 2 + x - 2 )   :   ( x + 1 ) = x - 2 x + 1   - ( x 2 + x ) ¯                     0    

Werden jetzt Betrachtungen zum Grenzwertverhalten der Funktion f durchgeführt, so erkennt man, dass sich die Funktionswerte von f für x → ±   ∞ immer weniger von denen der Funktion y = x unterscheiden, da der Term 2 x + 1 gegen null strebt.

Das heißt, die Gerade mit der Gleichung y = x ist schiefe Asymptote.

  1. Fall: n > m + 1

Die Funktion f ( x ) = x 4 − 1 x ist für alle x ≠ 0 definiert.
Durch Polynomdivision erhält man f ( x ) = x 3 − 1 x .

  • Asymptotische Linie

Dann gilt für das Grenzwertverhalten:
  lim x → ±   ∞ ( x 3 − 1 x ) = lim x →   ± ∞ x 3 − lim x → ±   ∞ 1 x = ±   ∞

Da der Term 1 x für x → ±   ∞ gegen null strebt, wird der Unterschied der Funktionswerte von f(x) und denen von y = x 3 immer kleiner. Das bedeutet aber, dass sich der Graph von f asymptotisch an den Graphen y = x 3 von nähert, er wird als asymptotische Kurve des Graphen y = x 3 von f bezeichnet.

Zusammenfassend lässt sich Folgendes feststellen:
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion der Form
  f(x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 b m x m + b m x m − 1 + ... + b 1 x + b 0       m i t         a n ,   b m ≠ 0
hat für x → ±   ∞ im Falle

  1. n < m die x-Achse als waagerechte Asymptote;
  2. n = m die Gerade mit der Gleichung y = a n b m als waagerechte Asymptote;
  3. n = m + 1 eine schiefe Asymptote, deren Gleichung man durch Polynomdivision bestimmt.
  4. n > m + 1 eine asymptotische Linie als Näherungskurve, deren Gleichung man ebenfalls durch Polynomdivision bestimmt.
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Asymptoten (asymptotische Linien)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/asymptoten-asymptotische-linien (Abgerufen: 20. May 2025, 05:13 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Funktionen
  • Verhalten im Unendlichen
  • Berechnung
  • Asymptoten
  • Mathcad
  • gebrochenrationale Funktionen
  • Grenzwerte
  • rationale Funktionen
  • Graphen
  • asymptotische Linien
  • interaktives Rechenbeispiel
  • Polynomdivision
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Monotonieverhalten von Funktionen

Im Folgenden soll der Zusammenhang zwischen Monotonie und 1. Ableitung untersucht werden.

William George Horner

* 1786 Bristol, England
† 22. September 1837 Bath, England

Der einzige Beitrag des englischen Lehrers WILLIAM GEORGE HORNER zur Mathematik besteht in der Entwicklung eines Verfahrens zur vorteilhaften Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen.
Dieses bis Mitte des 20. Jahrhunderts (auch in Schulbüchern) häufig benutzte Verfahren ist im heutigen Computerzeitalter allerdings nahezu gegenstandslos.

Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

Definitionslücken

Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

Stetigkeit

Der Begriff Stetigkeit gehört zu den zentralen Ideen der Differenzial- und Integralrechnung. Wenn man in der Umgangssprache einen bestimmten Vorgang als „stetig“ bezeichnet, so meint man damit, dass er ohne Unterbrechung und ohne sprunghafte Veränderungen abläuft. Eine ganz ähnliche Bedeutung hat der Begriff in der Mathematik.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025