Asymptoten (asymptotische Linien)

Wie das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion für x± im Einzelnen aussieht, hängt vom Grad n der Zählerfunktion p(x) und vom Grad m der Nennerfunktion q(x) ab. Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

  1. Fall: n<m

Sei f(x)=4xx2+3 mit n=1 und m=2 eine gebrochenrationale Funktion, die für alle x definiert ist.

Waagerechte Asymptote (x-Achse)

Um Aussagen über das „Grenzverhalten“ der Funktion f machen zu können, sind die Grenzwerte limx+f(x)undlimxf(x) zu bilden. Es gilt:
limx+4xx2+3=limx+4x1+3x2=0undlimx4xx2+3=limx4x1+3x2=0

In dem Fall ist also die x-Achse waagerechte Asymptote.

  1. Fall: n=m

Gegeben sei die Funktion f(x)=3x+1x+1.
Diese Funktion hat an der Stelle x0=1 eine Polstelle.

Waagerechte Asymptote (Parallele zur x-Achse)

Für die Grenzwerte limx+f(x)undlimxf(x) ergibt sich:
limx±3x+1x+1=limx±3+1x1+1x=3

Das heißt, die Gerade y=3 ist eine waagerechte Asymptote.

  1. Fall: n=m+1

Bei der Funktion f(x)=x2+x2x+1 ist der Grad der Zählerfunktion um 1 größer als der Grad der Nennerfunktion.

Schiefe Asymptote (Winkelhalbierende y = x)

Um eine genaue Aussage über das Verhalten von f(x) für x± machen zu können, dividiert man das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom, dadurch wird der Funktionsterm in eine Summe aus einem ganzrationalen und einem gebrochenrationalen Term zerlegt:
(x2+x-2):(x+1)=x-2x+1-(x2+x)¯0    

Werden jetzt Betrachtungen zum Grenzwertverhalten der Funktion f durchgeführt, so erkennt man, dass sich die Funktionswerte von f für x± immer weniger von denen der Funktion y=x unterscheiden, da der Term 2x+1 gegen null strebt.

Das heißt, die Gerade mit der Gleichung y=x ist schiefe Asymptote.

  1. Fall: n>m+1

Die Funktion f(x)=x41x ist für alle x0 definiert.
Durch Polynomdivision erhält man f(x)=x31x.

Asymptotische Linie

Dann gilt für das Grenzwertverhalten:
limx±(x31x)=limx±x3limx±1x=±

Da der Term 1x für x± gegen null strebt, wird der Unterschied der Funktionswerte von f(x) und denen von y=x3immer kleiner. Das bedeutet aber, dass sich der Graph von f asymptotisch an den Graphen y=x3 von nähert, er wird als asymptotische Kurve des Grapheny=x3 von f bezeichnet.

Zusammenfassend lässt sich Folgendes feststellen:
Der Graph einer gebrochenrationalen Funktion der Form
f(x)=anxn+an1xn1+...+a1x+a0bmxm+bmxm1+...+b1x+b0mitan,bm0
hat für x± im Falle

  1. n<m die x-Achse als waagerechte Asymptote;
  2. n=m die Gerade mit der Gleichung y=anbm als waagerechte Asymptote;
  3. n=m+1 eine schiefe Asymptote, deren Gleichung man durch Polynomdivision bestimmt.
  4. n>m+1 eine asymptotische Linie als Näherungskurve, deren Gleichung man ebenfalls durch Polynomdivision bestimmt.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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