Ganzrationale Funktionen

Der Deutsche Wetterdienst (DWD) betreibt bundesweit etwa 480 Klimastationen. Die Betreuer dieser nebenamtlichen Wetterstationen haben vielfältige Aufgaben. Registriert werden z.B. Windstärke, Windrichtung, relative Luftfeuchtigkeit, Sichtweite, Bewölkung u.a.m. Mehrmals täglich wird die Temperatur gemessen. Ein sogenannter Thermograf zeichnet die Temperaturkurve auf. Jeder Uhrzeit wird dabei eine ganz bestimmte Temperatur zugeordnet. Solche Zuordnungen zwischen zwei Größen, die den funktionalen Zusammenhang zwischen diesen beschreiben, werden als Funktionen bezeichnet.

In der Mathematik versteht man unter einer Funktion f eine eindeutige Zuordnung. Dabei wird jedem xDf genau ein yWf zugeordnet. Dabei ist Df der Definitionsbereich (die Definitionsmenge) und Wf der Wertebereich (die Wertemenge) der Funktion f.

In der Analysis beschäftigt man sich ausschließlich mit Funktionen, bei denen Definitions- und Wertebereich Mengen reeller Zahlen sind. In diesem Zusammenhang spricht man von reellen Funktionen.

Die reellen Funktionen lassen sich in bestimmte Funktionsarten einteilen. Je nachdem, ob bei der Verknüpfung der Funktionsvariablen nur rationale Rechenoperationen (also die bekannten Grundrechenoperationen) oder darüber hinaus noch weitere Rechenoperationen vorkommen, unterscheidet man rationale Funktionen und nichtrationale Funktionen. Die rationalen Funktionen werden nochmals in ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen unterteilt.

Bild

Zur Erklärung des Begriffs ganzrationale Funktion benötigt man den Polynombegriff. Polynome entstehen, wenn Terme der Form aixn mit ai0 und n addiert oder subtrahiert werden. Polynome werden in der Regel nach der höchsten Potenz von x, dem Grad des Polynoms, geordnet und benannt. Die ai heißen Koeffizienten des Polynoms und sind stets reelle Zahlen.

  • Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Polynom ist, heißt ganzrationale Funktion (bzw. Polynomfunktion).
    Ganzrationale Funktionen haben die folgende Form:
    f(x)=anxn+an1xn1+...+a2x2+a1x+a0(mit n und ai)
    Ist an0, so hat f den Grad n.

Wir betrachten im Folgenden einige Beispiele ganzrationaler Funktionen:

  1. Die Funktion f mit f(x)=8 ist eine konstante Funktion.
    Konstante Funktionen haben die Form f(x)=ai=c, ihr Grad ist 0.
  2. Die Funktion f mit f(x)=3x5 ist eine lineare Funktion.
    Lineare Funktionen (bzw. Funktionen 1. Grades) haben die Form f(x)=a1x+a0.
  3. Die Funktion f mit f(x)=3x2+5x12 ist eine quadratische Funktion.
    Quadratische Funktionen (bzw. Funktionen 2. Grades) haben die Form f(x)=a2x2+a1x+a0.
  4. Die Funktion f mit f(x)=5x3+2,5x2+0,2x4 ist eine kubische Funktion.
    Kubische Funktionen (Funktionen 3. Grades) haben die Form f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0.
  5. Die Funktion f mit f(x)=9x42x+4 ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades mit a4=9,a3=a2=0,a1=2 und a0=4.
  6. Die Funktion f mit f(x)=x(x+5)x2+4 ist wegen f(x)=x(x+5)x2+4=x2+5xx2+4=5x+4 eine lineare Funktion.
Aufgezeichneter Temperaturverlauf für 24 Stunden an einem Ort Deutschlands im Januar 2003

Anmerkung: Die Funktion f mit f(x)=x3x1 ist keine ganzrationale Funktion, da man den Funktionsterm nicht auf die Form anxn+an1xn1+...+a1x+a0 bringen kann.

Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große Werte von x

Es soll untersucht werden, wie sich ganzrationale Funktionen für betragsmäßig große (d.h. sehr kleine bzw. sehr große) x verhalten.

Als Beispiel für dieses zu untersuchende Verhalten im Unendlichen betrachten wir die kubische Funktion f mit f(x)=3x34x2+1. Für diese ergeben sich beispielsweise die folgenden Funktionswerte:

f(10)=2601f(100)2,960106f(1000)2,996109f(10000)3,0001012f(10)=3999f(100)3,040106f(1000)3,004109f(10000)3,0001012

Das führt zur Vermutung, dass die Funktionswerte von f für sehr große und sehr kleine x-Werte mit denen von f(x)=3x3 übereinstimmen.

Das lässt sich relativ einfach bestätigen. Durch Umformen des Funktionsterms (Ausklammern der größten Potenz von x) erhält man die folgende Darstellung:
f(x)=x3(34x+1x3)

Die beiden Summanden 4x und 1x3 nähern sich für betragsmäßig große x immer mehr dem Wert Null. Damit gilt in der Tat f(x)3x3.

Unsere Überlegungen lassen sich auf alle ganzrationalen Funktionen übertragen, denn es ist:
f(x)=anxn+an1xn1+...+a2x2+a1x+a0=xn(an+an1x+...+a2xn2+a1xn1+a0xn)

Für betragsmäßig große Werte für x unterscheidet sich die Summe in der Klammer nur sehr wenig von an an, so dass f(x)anxn ist.

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Grade n wird für betragsmäßig große Werte für x vom Produkt anxn bestimmt.

Die Abbildung zeigt das mögliche Verhalten ganzrationaler Funktionen für x±.

Verlauf ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x
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