Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f$ diejenige Zahl $x_0\in D_f$, für die $f\left(x_0\right)=0$ gilt.
Ist bei einer gebrochenrationalen $f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ an einer Stelle $x_0\in D_f$ die Zählerfunktion gleich null, d.h. gilt $p\left(x_0\right)=0$, so ist $x_0$ eine Nullstelle von $f\left(x\right)$, wenn gleichzeitig $q\left(x_0\right)\ne 0$ gilt.

• Beispiel 1: Gegeben sei die Funktion $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1}$ mit $x\ne -1$ (Definitionslücke). Es sind die Nullstellen zu bestimmen.

Zur Ermittlung der Nullstellen von $f$ setzt man die Zählerfunktion gleich null und löst die entstehende Gleichung, also:
$x-2=0\Rightarrow x=2$
Da für die Nennerfunktion $q\left(2\right)=3\ne 0$, ist $x=2$ Nullstelle von $f$.

• Beispiel 3: Die Funktion $f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{1+4x^2}$ ist auf Nullstellen zu untersuchen.

Die Funktion ist für alle $x\in ℝ$ definiert. Nullsetzen des Zählers führt auf die Gleichung $x^2+3=0$, die im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen besitzt. Die Funktion hat folglich keine Nullstellen.