Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion f diejenige Zahl x0Df, für die f(x0)=0 gilt.
Ist bei einer gebrochenrationalen f(x)=p(x)q(x) an einer Stelle x0Df die Zählerfunktion gleich null, d.h. gilt p(x0)=0, so ist x0 eine Nullstelle von f(x), wenn gleichzeitig q(x0)0 gilt.

  • Beispiel 1: Gegeben sei die Funktion f(x)=x2x+1 mit x1 (Definitionslücke). Es sind die Nullstellen zu bestimmen.

Zur Ermittlung der Nullstellen von f setzt man die Zählerfunktion gleich null und löst die entstehende Gleichung, also:
x2=0x=2
Da für die Nennerfunktion q(2)=30, ist x=2 Nullstelle von f.

Graph der Funktion des Beispiels 1

Graph der Funktion des Beispiels 1

  • Beispiel 2: Von der Funktion f(x)=x2+x6x25x+6 sind der Definitionsbereich und die Nullstellen zu bestimmen.

Die Funktion f hat an den Stellen x1=3 und x2=2 Definitionslücken, da die Nennerfunktion für diese Werte gleich null ist.
Damit ist der Definitionsbereich Df=\{3;2}.
Zur Berechnung der Nullstellen setzt man die Zählerfunktion gleich null und löst die folgende Gleichung:
x2+x6=0
Diese hat die Lösungen x3=2 und x4=3.
An der Stelle x4=3 liegt eine Nullstelle vor, da 3Df.
Da die Funktion f für x3=2 nicht definiert ist, existiert dort auch keine Nullstelle. Das bestätigt auch die grafische Darstellung der Funktion:

Graph der Funktion des Beispiels 2

Graph der Funktion des Beispiels 2

  • Beispiel 3: Die Funktion f(x)=x2+31+4x2 ist auf Nullstellen zu untersuchen.

Die Funktion ist für alle x definiert. Nullsetzen des Zählers führt auf die Gleichung x2+3=0, die im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen besitzt. Die Funktion hat folglich keine Nullstellen.

Graph der Funktion des Beispiels 3

Graph der Funktion des Beispiels 3

Zusammenfassung

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind alle Nullstellen der ganzrationalen Zählerfunktion, die nicht gleichzeitig Nullstellen der Nennerfunktion sind. Damit ist das Bestimmen der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen auf die Nullstellenermittlung ganzrationaler Funktionen zurückgeführt.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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