Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen

Allgemein versteht man unter einer Nullstelle einer Funktion $f$ diejenige Zahl $x_0\in D_f$, für die $f\left(x_0\right)=0$ gilt.
Ist bei einer gebrochenrationalen $f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ an einer Stelle $x_0\in D_f$ die Zählerfunktion gleich null, d.h. gilt $p\left(x_0\right)=0$, so ist $x_0$ eine Nullstelle von $f\left(x\right)$, wenn gleichzeitig $q\left(x_0\right)\ne 0$ gilt.

• Beispiel 1: Gegeben sei die Funktion $f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+1}$ mit $x\ne -1$ (Definitionslücke). Es sind die Nullstellen zu bestimmen.

Zur Ermittlung der Nullstellen von $f$ setzt man die Zählerfunktion gleich null und löst die entstehende Gleichung, also:
$x-2=0\Rightarrow x=2$
Da für die Nennerfunktion $q\left(2\right)=3\ne 0$, ist $x=2$ Nullstelle von $f$.

• Beispiel 2: Von der Funktion $f\left(x\right)=\frac{x^2+x-6}{x^2-5x+6}$ sind der Definitionsbereich und die Nullstellen zu bestimmen.

Die Funktion $f$ hat an den Stellen $x_1=3$ und $x_2=2$ Definitionslücken, da die Nennerfunktion für diese Werte gleich null ist.
Damit ist der Definitionsbereich $D_f=ℝ\backslash \left\{3;2\right\}$.
Zur Berechnung der Nullstellen setzt man die Zählerfunktion gleich null und löst die folgende Gleichung:
$x^2+x-6=0$
Diese hat die Lösungen $x_3=2$ und $x_4=-3$.
An der Stelle $x_4=-3$ liegt eine Nullstelle vor, da $-3\in D_f$.
Da die Funktion $f$ für $x_3=2$ nicht definiert ist, existiert dort auch keine Nullstelle. Das bestätigt auch die grafische Darstellung der Funktion:

• Beispiel 3: Die Funktion $f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{1+4x^2}$ ist auf Nullstellen zu untersuchen.

Die Funktion ist für alle $x\in ℝ$ definiert. Nullsetzen des Zählers führt auf die Gleichung $x^2+3=0$, die im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen besitzt. Die Funktion hat folglich keine Nullstellen.

Zusammenfassung

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind alle Nullstellen der ganzrationalen Zählerfunktion, die nicht gleichzeitig Nullstellen der Nennerfunktion sind. Damit ist das Bestimmen der Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen auf die Nullstellenermittlung ganzrationaler Funktionen zurückgeführt.