Periodizität von Funktionen

  • Definition: Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es eine Zahl a > 0 gibt, sodass für alle x , x + a D f gilt:
    f ( x + a ) = f ( x ) .
    Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft nennt man Periode.

    Anmerkung: Mit f ( x + a ) = f ( x ) gilt auch f ( x ) = f ( x + k a ) , sofern nur die Werte x + k a (  mit  k ) zum Definitionsbereich gehören.

Die Graphen periodischer Funktionen sind verschiebungssymmetrisch, sie gehen durch Verschiebung längs der x-Achse mit einer Verschiebungsweite p oder k p in sich über.

Beispiel einer periodischen Funktion

Beispiel einer periodischen Funktion

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periode 2 π . Aus ihnen lassen sich weitere periodische Funktionen zusammensetzen, z.B. die Funktionen f ( x ) = a sin b x mit der Periode p = 2 π b .

Beispiel 1: Die Periode der Funktion f ( x ) = 3 sin 1 4 ( x + π ) ist zu bestimmen.

Die Funktion ist vom Typ f ( x ) = a sin b ( x + c ) . Für die Periode von f gilt allgemein p = 2 π b . Damit hat f die Periode p = 8 π .

Beispiel 2: Die Funktion f ( x ) = 2 sin ( 2 ( x + 2 ) ) + 2 ist zu skizzieren.

Der Graph dieser Funktion f geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch folgende Modifikationen hervor:

  • Streckung in Richtung der y-Achse mit dem Faktor 2;
  • Streckung in Richtung der x-Achse mit dem Faktor 1 2 (Stauchung);
  • Verschiebung um zwei Einheiten in Richtung der x-Achse nach links;
  • Verschiebung um zwei Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben

Für die Periode p gilt p = 2 π 2 = π .
Abschließend soll noch eine Aussage für zusammengesetzte Funktionen der Form f ( x ) = a 1 sin b 1 x + a 2 sin b 2 x gemacht werden.
Diese sind periodisch, wenn b 1  und  b 2 in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen, d.h., wenn b 1 : b 2 = m : n gilt und m und n teilerfremde ganze Zahlen sind.
Die Periode des ersten Summanden ist dann 2 π b 1 , die des zweiten 2 π b 2 , und es gilt:
2 π b 1 : 2 π b 2 = b 2 : b 1 = n : m
Das heißt, n Perioden des ersten Summanden entsprechen genau m Perioden des zweiten. Deshalb hat die Gesamtfunktion die Periode m 2 π b 1 = n 2 π b 2 .

Beispiel 3: Die Periode der Funktion f ( x ) = sin 3 x + 2 sin 2 3 x ist zu bestimmen.

Die Perioden der Einzelfunktion obiger zusammengesetzter Funktion sind 2 3 π  bzw.  3 π , ihr Verhältnis ist 2 3 π : 3 π = 2 : 9 , die Periode der betrachteten Funktion ist demzufolge 9 2 3 π = 2 3 π = 6 π .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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