Periodizität von Funktionen

  • Definition: Eine Funktion f heißt periodisch, wenn es eine Zahl a>0 gibt, sodass für alle x,x+aDf gilt:
    f(x+a)=f(x).
    Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft nennt man Periode.

    Anmerkung: Mit f(x+a)=f(x) gilt auch f(x)=f(x+ka), sofern nur die Werte x+ka( mit k) zum Definitionsbereich gehören.

Die Graphen periodischer Funktionen sind verschiebungssymmetrisch, sie gehen durch Verschiebung längs der x-Achse mit einer Verschiebungsweite p oder kp in sich über.

Beispiel einer periodischen Funktion

Beispiel einer periodischen Funktion

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periode 2π. Aus ihnen lassen sich weitere periodische Funktionen zusammensetzen, z.B. die Funktionen f(x)=asinbx mit der Periode p=2πb.

Beispiel 1: Die Periode der Funktion f(x)=3sin14(x+π) ist zu bestimmen.

Die Funktion ist vom Typ f(x)=asinb(x+c). Für die Periode von f gilt allgemein p=2πb. Damit hat f die Periode p=8π.

Beispiel 2: Die Funktion f(x)=2sin(2(x+2))+2 ist zu skizzieren.

Der Graph dieser Funktion f geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch folgende Modifikationen hervor:

  • Streckung in Richtung der y-Achse mit dem Faktor 2;
  • Streckung in Richtung der x-Achse mit dem Faktor 12 (Stauchung);
  • Verschiebung um zwei Einheiten in Richtung der x-Achse nach links;
  • Verschiebung um zwei Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben

Für die Periode p gilt p=2π2=π.
Abschließend soll noch eine Aussage für zusammengesetzte Funktionen der Form f(x)=a1sinb1x+a2sinb2x gemacht werden.
Diese sind periodisch, wenn b1 und b2 in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen, d.h., wenn b1:b2=m:n gilt und m und n teilerfremde ganze Zahlen sind.
Die Periode des ersten Summanden ist dann 2πb1, die des zweiten 2πb2, und es gilt:
2πb1:2πb2=b2:b1=n:m
Das heißt, n Perioden des ersten Summanden entsprechen genau m Perioden des zweiten. Deshalb hat die Gesamtfunktion die Periode m2πb1=n2πb2.

Beispiel 3: Die Periode der Funktion f(x)=sin3x+2sin23x ist zu bestimmen.

Die Perioden der Einzelfunktion obiger zusammengesetzter Funktion sind 23π bzw. 3π, ihr Verhältnis ist 23π:3π=2:9, die Periode der betrachteten Funktion ist demzufolge 923π=23π=6π.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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