- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 3 Funktionen und ihre Eigenschaften
- 3.3 Eigenschaften von Funktionen
- 3.3.3 Periodizität
- Periodizität von Funktionen
Die Graphen periodischer Funktionen sind verschiebungssymmetrisch, sie gehen durch Verschiebung längs der x-Achse mit einer Verschiebungsweite p oder in sich über.
Beispiel einer periodischen Funktion
Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periode . Aus ihnen lassen sich weitere periodische Funktionen zusammensetzen, z.B. die Funktionen mit der Periode .
Beispiel 1: Die Periode der Funktion ist zu bestimmen.
Die Funktion ist vom Typ . Für die Periode von f gilt allgemein . Damit hat f die Periode .
Beispiel 2: Die Funktion ist zu skizzieren.
Der Graph dieser Funktion f geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch folgende Modifikationen hervor:
Für die Periode p gilt .
Abschließend soll noch eine Aussage für zusammengesetzte Funktionen der Form gemacht werden.
Diese sind periodisch, wenn und in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander stehen, d.h., wenn gilt und m und n teilerfremde ganze Zahlen sind.
Die Periode des ersten Summanden ist dann , die des zweiten , und es gilt:
Das heißt, n Perioden des ersten Summanden entsprechen genau m Perioden des zweiten. Deshalb hat die Gesamtfunktion die Periode .
Beispiel 3: Die Periode der Funktion ist zu bestimmen.
Die Perioden der Einzelfunktion obiger zusammengesetzter Funktion sind bzw. , ihr Verhältnis ist , die Periode der betrachteten Funktion ist demzufolge .
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