Symmetrie von Funktionen

Insbesondere treten bei den Graphen zwei Grundsymmetrien auf:

  1. Achsensymmetrie (Axialsymmetrie)
  2. Punktsymmetrie (Zentralsymmetrie)

Mit Blick auf einige spezielle Funktionen (vor allem periodische Funktionen), z.B. die Tangensfunktion f(x)=tanx, ist auch eine so genannte Verschiebungssymmetrie (Axialverschiebung) von Interesse.

Achsen- und Punktsymmetrie

Die Bedingungen für axialsymmetrische und zentralsymmetrische Graphen sind in der Abbildung angegeben. Die entsprechenden Funktionen werden gerade bzw. ungerade Funktionen genannt.

Gerade und ungerade Funktionen
  • Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich Df heißt gerade Funktion genau dann, wenn mit xDf auch xDf ist und wenn gilt:
    f(x)=f(x) für alle xDf
  • Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich Df heißt ungerade Funktion genau dann, wenn mit xDf auch xDf ist und wenn gilt:
    f(x)=f(x) für alle xDf

Bei ganzrationalen Funktionen kann man eine vorhandene Symmetrie relativ einfach erkennen.
Treten im Funktionsterm nur gerade Potenzen von x auf, ist also f(x)=a2nx2n+...+a2x2+a0(mit n), so gilt stets f(x)=f(x). Treten andererseits nur ungerade Potenzen von x auf, ist also f(x)=a2n+1x2n+1+...+a3x3+a1x(mit x), so gilt stets f(x)=f(x).

Für ganzrationale Funktionen f mit f(x)=anxn+an1xn1+...+a2x2+a1x+a0(mit n) lässt sich somit allgemein formulieren:

  • Die Funktion f ist genau dann gerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von x mit geraden Exponenten auftreten.
    Anmerkung: Wegen a0=a0x0 gilt auch a0 als Summand mit geradem Exponenten von x.
  • Die Funktion f ist genau dann ungerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auftreten.

Beispiel 1: Die Funktionen f(x)=0,25x6+0,25x4x21, g(x)=0,3x33 und h(x)=x61,2x59x4 sind auf Symmetrie zu untersuchen.

Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da alle Potenzen von x gerade sind; der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da alle Potenzen von x ungerade sind. Demzufolge ist f eine gerade und g eine ungerade Funktion.
Die Funktion h ist weder gerade noch ungerade.

Beispiel 2: Die Funktionen f mit f(x)=x2+4x1 und g mit g(x)=x33x2 sind auf Symmetrie zu untersuchen.

Nach den oben herangezogenen Kriterium sind f und g weder gerade noch ungerade. Trotzdem weisen ihre Graphen (s. Bilder 2 und 3) eine Symmetrie auf.
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur Geraden x=2, der Graph von g zentralsymmetrisch zum Punkt P(1;2).

Beispiel 3: Es ist zu untersuchen, ob die Funktion f mit f(x)=xx2+1 gerade oder ungerade ist.

Man bildet f(x) und erhält:
f(x)=x(x)2+1=xx2+1=f(x).
Die Funktion f ist also ungerade.

Beispiel 4: Es sind Symmetrie und Monotonieverhalten der quadratischen Funktion f(x)=3x2+2x5 sind zu bestimmen.

Die Scheitelpunktsform lautet f(x)=(x+13)2163, d.h., der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(13;163). Das bedeutet, der Graph der Funktion ist symmetrisch zur Geraden x=13. Durch den Scheitelpunkt S ist das Monotonieverhalten der nach oben geöffneten Parabel bestimmt. Die Funktion f ist im Intervall ];13] streng monoton fallend und im Intervall [13;[ streng monoton wachsend.

Beispiel eines achsensymmetrischen Funktionsgraphen
Beispiel eines punktsymmetrischen Funktionsgraphen

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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