Symmetrie von Funktionen

Insbesondere treten bei den Graphen zwei Grundsymmetrien auf:

  1. Achsensymmetrie (Axialsymmetrie)
  2. Punktsymmetrie (Zentralsymmetrie)

Mit Blick auf einige spezielle Funktionen (vor allem periodische Funktionen), z.B. die Tangensfunktion f ( x ) = tan x , ist auch eine so genannte Verschiebungssymmetrie (Axialverschiebung) von Interesse.

Achsen- und Punktsymmetrie

Die Bedingungen für axialsymmetrische und zentralsymmetrische Graphen sind in der Abbildung angegeben. Die entsprechenden Funktionen werden gerade bzw. ungerade Funktionen genannt.

Gerade und ungerade Funktionen

Gerade und ungerade Funktionen

  • Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D f heißt gerade Funktion genau dann, wenn mit x D f auch x D f ist und wenn gilt:
    f ( x ) = f ( x )  für alle  x D f
  • Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D f heißt ungerade Funktion genau dann, wenn mit x D f auch x D f ist und wenn gilt:
    f ( x ) = f ( x )  für alle  x D f

Bei ganzrationalen Funktionen kann man eine vorhandene Symmetrie relativ einfach erkennen.
Treten im Funktionsterm nur gerade Potenzen von x auf, ist also f ( x ) = a 2 n x 2 n + ... + a 2 x 2 + a 0 ( mit  n ) , so gilt stets f ( x ) = f ( x ) . Treten andererseits nur ungerade Potenzen von x auf, ist also f ( x ) = a 2 n + 1 x 2 n + 1 + ... + a 3 x 3 + a 1 x ( mit  x ) , so gilt stets f ( x ) = f ( x ) .

Für ganzrationale Funktionen f mit f ( x ) = a n x n + a n 1 x n 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ( mit  n ) lässt sich somit allgemein formulieren:

  • Die Funktion f ist genau dann gerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von x mit geraden Exponenten auftreten.
    Anmerkung: Wegen a 0 = a 0 x 0 gilt auch a 0 als Summand mit geradem Exponenten von x.
  • Die Funktion f ist genau dann ungerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auftreten.

Beispiel 1: Die Funktionen f ( x ) = 0,25 x 6 + 0,25 x 4 x 2 1 , g ( x ) = 0,3 x 3 3 und h ( x ) = x 6 1,2 x 5 9 x 4 sind auf Symmetrie zu untersuchen.

Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da alle Potenzen von x gerade sind; der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da alle Potenzen von x ungerade sind. Demzufolge ist f eine gerade und g eine ungerade Funktion.
Die Funktion h ist weder gerade noch ungerade.

Beispiel 2: Die Funktionen f mit f ( x ) = x 2 + 4 x 1 und g mit g ( x ) = x 3 3 x 2 sind auf Symmetrie zu untersuchen.

Nach den oben herangezogenen Kriterium sind f und g weder gerade noch ungerade. Trotzdem weisen ihre Graphen (s. Bilder 2 und 3) eine Symmetrie auf.
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 2 , der Graph von g zentralsymmetrisch zum Punkt P ( 1 ; 2 ) .

Beispiel 3: Es ist zu untersuchen, ob die Funktion f mit f ( x ) = x x 2 + 1 gerade oder ungerade ist.

Man bildet f ( x ) und erhält:
f ( x ) = x ( x ) 2 + 1 = x x 2 + 1 = f ( x ) .
Die Funktion f ist also ungerade.

Beispiel 4: Es sind Symmetrie und Monotonieverhalten der quadratischen Funktion f ( x ) = 3 x 2 + 2 x 5 sind zu bestimmen.

Die Scheitelpunktsform lautet f ( x ) = ( x + 1 3 ) 2 16 3 , d.h., der Scheitelpunkt hat die Koordinaten S ( 1 3 ; 16 3 ) . Das bedeutet, der Graph der Funktion ist symmetrisch zur Geraden x = 1 3 . Durch den Scheitelpunkt S ist das Monotonieverhalten der nach oben geöffneten Parabel bestimmt. Die Funktion f ist im Intervall ] ; 1 3 ] streng monoton fallend und im Intervall [ 1 3 ; [ streng monoton wachsend.

Beispiel eines achsensymmetrischen Funktionsgraphen

Beispiel eines achsensymmetrischen Funktionsgraphen

Beispiel eines punktsymmetrischen Funktionsgraphen

Beispiel eines punktsymmetrischen Funktionsgraphen

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