Symmetrie von Funktionen

Insbesondere treten bei den Graphen zwei Grundsymmetrien auf:

1. Achsensymmetrie (Axialsymmetrie)
2. Punktsymmetrie (Zentralsymmetrie)

Mit Blick auf einige spezielle Funktionen (vor allem periodische Funktionen), z.B. die Tangensfunktion $f\left(x\right)=\tan x$, ist auch eine so genannte Verschiebungssymmetrie (Axialverschiebung) von Interesse.

Achsen- und Punktsymmetrie

Die Bedingungen für axialsymmetrische und zentralsymmetrische Graphen sind in der Abbildung angegeben. Die entsprechenden Funktionen werden gerade bzw. ungerade Funktionen genannt.

• Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich $D_f$ heißt gerade Funktion genau dann, wenn mit $x\in D_f$ auch $-x\in D_f$ ist und wenn gilt:
  $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ für alle $x\in D_f$
• Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich $D_f$ heißt ungerade Funktion genau dann, wenn mit $x\in D_f$ auch $-x\in D_f$ ist und wenn gilt:
  $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ für alle $x\in D_f$

Bei ganzrationalen Funktionen kann man eine vorhandene Symmetrie relativ einfach erkennen.
Treten im Funktionsterm nur gerade Potenzen von x auf, ist also $f\left(x\right)=a_{2n}\cdot x^{2n}+\mathrm{...}+a_2\cdot x^2+a_0($mit $n\in \mathbb{N})$, so gilt stets $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$. Treten andererseits nur ungerade Potenzen von x auf, ist also $f\left(x\right)=a_{2n+1}\cdot x^{2n+1}+\mathrm{...}+a_3\cdot x^3+a_1\cdot x($mit $x\in \mathbb{N})$, so gilt stets $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$.

Für ganzrationale Funktionen f mit $f\left(x\right)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\mathrm{...}+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0($mit $n\in \mathbb{N})$ lässt sich somit allgemein formulieren:

• Die Funktion f ist genau dann gerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von x mit geraden Exponenten auftreten.
  Anmerkung: Wegen $a_0=a_0\cdot x^0$ gilt auch $a_0$ als Summand mit geradem Exponenten von x.
• Die Funktion f ist genau dann ungerade, wenn im Funktionsterm nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten auftreten.

Beispiel 1: Die Funktionen $f\left(x\right)=\mathrm{0,25}{x}^6+\mathrm{0,25}{x}^4-x^2-1$, $g\left(x\right)=\mathrm{0,3}{x}^3-3$ und $h\left(x\right)=x^6-\mathrm{1,2}{x}^5-9x^4$ sind auf Symmetrie zu untersuchen.

Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da alle Potenzen von x gerade sind; der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da alle Potenzen von x ungerade sind. Demzufolge ist f eine gerade und g eine ungerade Funktion.
Die Funktion h ist weder gerade noch ungerade.

Beispiel 2: Die Funktionen f mit $f\left(x\right)=-x^2+4x-1$ und g mit $g\left(x\right)=x^3-3x^2$ sind auf Symmetrie zu untersuchen.

Nach den oben herangezogenen Kriterium sind f und g weder gerade noch ungerade. Trotzdem weisen ihre Graphen (s. Bilder 2 und 3) eine Symmetrie auf.
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur Geraden $x=2$, der Graph von g zentralsymmetrisch zum Punkt $P\left(1;2\right)$.

Beispiel 3: Es ist zu untersuchen, ob die Funktion f mit $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+1}$ gerade oder ungerade ist.

Man bildet $f\left(-x\right)$ und erhält:
$\text{f}\left(-x\right)=\frac{-\text{x}}{{\left(-\text{x}\right)}^{\text{2}}+\text{1}}=-\frac{\text{x}}{{\text{x}}^{\text{2}}+\text{1}}=-f\left(x\right)$.
Die Funktion f ist also ungerade.

Beispiel 4: Es sind Symmetrie und Monotonieverhalten der quadratischen Funktion $f\left(x\right)=3x^2+2x-5$ sind zu bestimmen.

Die Scheitelpunktsform lautet $f(x)={\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{16}{3}$, d.h., der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S\left(-\frac{1}{3};-\frac{16}{3}\right)$. Das bedeutet, der Graph der Funktion ist symmetrisch zur Geraden $x=-\frac{1}{3}$. Durch den Scheitelpunkt S ist das Monotonieverhalten der nach oben geöffneten Parabel bestimmt. Die Funktion f ist im Intervall $\left]-\infty ;-\frac{1}{3}\right]$ streng monoton fallend und im Intervall $\left[-\frac{1}{3};-\infty \right[$ streng monoton wachsend.