Monotonie von Funktionen

Graphen von Funktionen können in bestimmten Intervallen steigen, fallen oder parallel zur x-Achse verlaufen.

Monotonie

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Aufgaben und Übungen zur Monotonie gibt es hier!

Steigt der Graph, so wachsen die Funktionswerte, d.h., für $x_{1} < x_{2}$ ist auch $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . In diesem Fall heißt die Funktion in dem betrachteten Intervall streng monoton wachsend. Ist das nicht nur in einem bestimmten Intervall, sondern im gesamten Definitionsbereich $D_{f}$ der Fall, so heißt die Funktion streng monoton wachsend.

Gilt dagegen $f (x_{1}) > f (x_{2})$ für $x_{1} < x_{2}$ , dann spricht man von streng monoton fallend.

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Für das Monotonieverhalten einer Funktion gilt:

Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs $D_{f}$ genau dann monoton wachsend, wenn für beliebige $x_{1}, x_{2} \in I$ gilt:
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$
Gilt sogar $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$ , so heißt f streng monoton wachsend.
Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs $D_{f}$ genau dann monoton fallend, wenn für beliebige $x_{1}, x_{2} \in I$ gilt:
$x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$
Gilt sogar $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ , so heißt f streng monoton fallend.

Die Untersuchung von Funktionen auf Monotonie ist mithilfe der soeben gegebenen Erklärung oft nicht einfach. Ist die Funktion f aber differenzierbar dann liefert der Zusammenhang zwischen der Monotonie von f und den Tangentensteigungen das nachfolgende Kriterium für strenge Monotonie:
Sei f eine im Intervall I differenzierbare Funktion. Wenn für alle x aus I

$f^{'} (x) > 0$ gilt, dann ist f in I streng monoton wachsend;
$f^{'} (x) < 0$ gilt, dann ist f in I streng monoton fallend

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Wir betrachten im Folgenden einige Beispiele für Monotonieuntersuchungen.

Beispiel 1: Die Funktion $f (x) = 2^{x}$ ist mithilfe der Definition auf Monotonie zu untersuchen.

Sind $x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ mit $x_{1} < x_{2}$ , dann ist $x_{2} = x_{1} + h$ mit $h > 0$ .
Für den Funktionswert gilt dann:
$f (x_{2}) = 2^{x_{2}} = 2^{x_{1} + h} = 2^{x_{1}} \cdot 2^{h}$
Für $h > 0$ ist $2^{h} > 1$ , also ist:
$f (x_{2}) = 2^{x_{1}} \cdot 2^{h} > 2^{x_{1}} = f (x_{1})$
Das heißt, f(x) ist streng monoton wachsend über dem gesamten Definitionsbereich.

Beispiel einer streng monton wachsenden Funktion

Beispiel 2: Die Funktion $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} + x$ ist mithilfe des Monotoniekriteriums auf Monotonie zu untersuchen.

Die 1. Ableitung ist $f^{'} (x) = 2 x^{2} + 1$ . Die Ungleichung $2 x^{2} + 1 > 0$ ist für alle $x \in ℝ$ erfüllt, d.h. die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Beispiel 3: Das Montonieverhalten der Funktion $f (x) = 4 x^{3} - 12 x$ ist zu untersuchen.

Auch hier wendet man zweckmäßigerweise das Monotoniekriterium an.
Man erhält $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 12$ .
Die Ungleichung $12 x^{2} - 12 > 0$ bzw. $x^{2} - 1 > 0$ ist erfüllt für $x < - 1$ oder $x > 1$ . Die Ungleichung $12 x^{2} - 12 < 0$ bzw. $x^{2} - 1 < 0$ ist erfüllt für $- 1 < x < 1$ .
Also ist die Funktion f für $x < - 1$ und $x > 1$ streng monoton wachsend und für $- 1 < x < 1$ streng monoton fallend.

Graph zum Beispiel 3

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