Monotonie von Funktionen

Steigt der Graph, so wachsen die Funktionswerte, d.h., für x1<x2 ist auch f(x1)<f(x2). In diesem Fall heißt die Funktion in dem betrachteten Intervall streng monoton wachsend. Ist das nicht nur in einem bestimmten Intervall, sondern im gesamten Definitionsbereich Df der Fall, so heißt die Funktion streng monoton wachsend.

Gilt dagegen f(x1)>f(x2) für x1<x2, dann spricht man von streng monoton fallend.

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Für das Monotonieverhalten einer Funktion gilt:

  • Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs Df genau dann monoton wachsend, wenn für beliebige x1,x2I gilt:
    x1<x2f(x1)f(x2)
    Gilt sogar x1<x2f(x1)<f(x2), so heißt f streng monoton wachsend.
  • Eine Funktion f heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs Df genau dann monoton fallend, wenn für beliebige x1,x2I gilt:
    x1<x2f(x1)f(x2)
    Gilt sogar x1<x2f(x1)>f(x2), so heißt f streng monoton fallend.

Die Untersuchung von Funktionen auf Monotonie ist mithilfe der soeben gegebenen Erklärung oft nicht einfach. Ist die Funktion f aber differenzierbar dann liefert der Zusammenhang zwischen der Monotonie von f und den Tangentensteigungen das nachfolgende Kriterium für strenge Monotonie:
Sei f eine im Intervall I differenzierbare Funktion. Wenn für alle x aus I

  1. f(x)>0 gilt, dann ist f in I streng monoton wachsend;
  2. f(x)<0 gilt, dann ist f in I streng monoton fallend

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Wir betrachten im Folgenden einige Beispiele für Monotonieuntersuchungen.

Beispiel 1: Die Funktion f(x)=2x ist mithilfe der Definition auf Monotonie zu untersuchen.

Sind x1,x2Df mit x1<x2, dann ist x2=x1+h mit h>0.
Für den Funktionswert gilt dann:
f(x2)=2x2=2x1+h=2x12h
Für h>0 ist 2h>1, also ist:
f(x2)=2x12h>2x1=f(x1)
Das heißt, f(x) ist streng monoton wachsend über dem gesamten Definitionsbereich.

Beispiel einer streng monton wachsenden Funktion

Beispiel 2: Die Funktion f(x)=23x3+x ist mithilfe des Monotoniekriteriums auf Monotonie zu untersuchen.

Die 1. Ableitung ist f(x)=2x2+1. Die Ungleichung 2x2+1>0 ist für alle x erfüllt, d.h. die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend.

Beispiel 3: Das Montonieverhalten der Funktion f(x)=4x312x ist zu untersuchen.

Auch hier wendet man zweckmäßigerweise das Monotoniekriterium an.
Man erhält f(x)=12x212.
Die Ungleichung 12x212>0 bzw. x21>0 ist erfüllt für x<1 oder x>1. Die Ungleichung 12x212<0 bzw. x21<0 ist erfüllt für 1<x<1.
Also ist die Funktion f für x<1 und x>1 streng monoton wachsend und für 1<x<1 streng monoton fallend.

Graph zum Beispiel 3
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