Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für $a \neq 1$ erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

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$a > 1$	Parabel ist gestreckt.
$0 < a < 1$	Parabel ist gestaucht.
$- 1 < a < 1$	Parabel ist gestaucht und an der x-Achse gespiegelt.
$a < - 1$	Parabel ist gestreckt und an der x-Achse gespiegelt.

Die Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2}$ besitzt wie die Normalparabel den Scheitelpunkt $S (0; 0)$ .

Beispiel 1: Graphen von $y = f (x) = a x^{2}$ für verschiedene Werte von a

x	– 2	–1	1	2
$y = f_{1} (x) = x^{2}$	4	1	1	4
$y = f_{2} (x) = 2 x^{2}$	8	2	2	8
$y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2}$	2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	2
$y = f_{4} (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$	– 2	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	– 2
$y = f_{5} (x) = - 2 x^{2}$	– 8	– 1	– 1	– 8

Um die Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 1$ zu ermitteln, formen wir folgendermaßen um:
$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = a [(x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + (- {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a})] \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}] \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x^{2} + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}$
Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten:
$S (- \frac{b}{2 a}; \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$

Beispiel 2: Graphen von $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ für verschiedene Werte von a

$\begin{array}{l} y = f_{1} (x) = 2 x^{2} - 4 x = 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = 2 {(x - 1)}^{2} - 2 \\ \Rightarrow S (1; - 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = f_{2} (x) = - 2 x^{2} + 4 x = - 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2 \\ \Rightarrow S (1; 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x = \frac{1}{2} [{(x - 1)}^{2} - 1] = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S (1; - \frac{1}{2}) \end{array}$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/streckung-stauchung-und-spiegelung-von-graphen (Abgerufen: 09. June 2025, 21:13 UTC)

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Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

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Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für $x \to \pm \infty$ gilt $| f (x) | = + \infty$ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

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Der Funktionsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik und spielt auch bei Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft und Technik sowie in Wirtschaft und Gesellschaft eine wichtige Rolle. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden.
Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge $D_{f}$ eindeutig ein Element y aus einer Menge $W_{f}$ zuordnet. $D_{f}$ heißt der Definitionsbereich, $W_{f}$ der Wertebereich der Funktion f. Man nennt $x \in D_{f}$ ein Argument, das zugeordnete Element $y \in W_{f}$ den Funktionswert von x bei der Funktion f. Als Kurzschreibweise gibt man die Funktionsgleichung u.a. in der Form $y = f (x)$ an.

Funktionenklassen

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