Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen

Der Graph einer quadratischen Funktion mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ist für a = 1 eine (ggf. verschobene) Normalparabel.
Für $a \neq 1$ erhalten wir als Graph im Vergleich zum Graphen von $y = f (x) = x^{2} + b x + c$ eine (in y-Richtung) gestreckte bzw. gestauchte und gegebenenfalls an der x-Achse gespiegelte Parabel.

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$a > 1$	Parabel ist gestreckt.
$0 < a < 1$	Parabel ist gestaucht.
$- 1 < a < 1$	Parabel ist gestaucht und an der x-Achse gespiegelt.
$a < - 1$	Parabel ist gestreckt und an der x-Achse gespiegelt.

Die Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2}$ besitzt wie die Normalparabel den Scheitelpunkt $S (0; 0)$ .

Beispiel 1: Graphen von $y = f (x) = a x^{2}$ für verschiedene Werte von a

x	– 2	–1	1	2
$y = f_{1} (x) = x^{2}$	4	1	1	4
$y = f_{2} (x) = 2 x^{2}$	8	2	2	8
$y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2}$	2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	2
$y = f_{4} (x) = - \frac{1}{2} x^{2}$	– 2	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	– 2
$y = f_{5} (x) = - 2 x^{2}$	– 8	– 1	– 1	– 8

Um die Scheitelpunktskoordinaten einer Parabel mit der Gleichung $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 1$ zu ermitteln, formen wir folgendermaßen um:
$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = a [(x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + (- {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a})] \\ = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}] \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \\ = a {(x^{2} + \frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} \end{matrix}$
Der Scheitelpunkt hat also die folgenden Koordinaten:
$S (- \frac{b}{2 a}; \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})$

Beispiel 2: Graphen von $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ für verschiedene Werte von a

$\begin{array}{l} y = f_{1} (x) = 2 x^{2} - 4 x = 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = 2 {(x - 1)}^{2} - 2 \\ \Rightarrow S (1; - 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = f_{2} (x) = - 2 x^{2} + 4 x = - 2 [{(x - 1)}^{2} - 1] = - 2 {(x - 1)}^{2} + 2 \\ \Rightarrow S (1; 2) \end{array}$

$\begin{array}{l} y = f_{3} (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x = \frac{1}{2} [{(x - 1)}^{2} - 1] = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow S (1; - \frac{1}{2}) \end{array}$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Streckung, Stauchung und Spiegelung von Graphen quadratischer Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/streckung-stauchung-und-spiegelung-von-graphen (Abgerufen: 20. May 2025, 13:11 UTC)

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Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für $x \to \pm \infty$ gilt $| f (x) | = + \infty$ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

Definitionslücken

Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

Leonhard Euler

* 15. März 1707 Basel
† 18. September 1783 St. Petersburg

LEONHARD EULER war einer der produktivsten Wissenschaftler, was sowohl Fülle und Bedeutsamkeit als auch Vielseitigkeit seiner Beiträge angeht. Zwar gilt er vor allem als Mathematiker, doch hat er unter Nutzung der Mathematik, insbesondere der analytischen Methode, auch andere wissenschaftliche Gebiete (Mechanik, Planetenbewegung, Strömungslehre, Optik u.a.) erfolgreich bearbeitet.
Seine mathematischen Arbeiten beschäftigten sich vor allem mit Problemen der Analysis und der Zahlentheorie.

Darstellung von Funktionen

Für die Darstellung oder Beschreibung von Funktionen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Sind Definitions- und Wertebereich Mengen reeller Zahlen (handelt es sich also um reelle Funktionen), so kommen vor allem folgende Varianten in Frage:

Angabe der (geordneten) Paare einander zugeordneter Elemente aus Definitions- und Wertebereich;
Beschreibung der Zuordnungsvorschrift in Worten (Wortvorschrift; verbale Beschreibung);
Angabe einer die Zuordnung vermittelnden Gleichung $y = f (x)$ ;
Darstellung der einander zugeordneten Elemente in einer Wertetabelle;
Beschreibung durch grafische Darstellungen, z.B. durch ein Pfeildiagramm oder durch Deuten der Zahlenpaare als die Koordinaten von Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem (wodurch man einen Graphen der Funktion erhält)

Neben den oben angeführten Darstellungsarten für Funktionen nutzt man auch die sogenannte Parameterdarstellung. Diese ist dadurch charakterisiert, dass sowohl die Variable x als auch die Variable y jeweils für sich durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, die einen (gemeinsamen) Parameter t als unabhängige Variable enthält.

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