Funktionen, Ganzrationale

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Funktionen, Ganzrationale." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/funktionen-ganzrationale (Abgerufen: 29. August 2026, 18:40 UTC)

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Grafisches Lösen von Gleichungen

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwendig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen.

Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion.

Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

Das Vorgehen beim grafischen Lösen von Gleichungen soll im Folgenden durch ein Beispiel verdeutlicht werden.

Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für $x \to \pm \infty$ gilt $| f (x) | = + \infty$ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

William George Horner

* 1786 Bristol, England
† 22. September 1837 Bath, England

Der einzige Beitrag des englischen Lehrers WILLIAM GEORGE HORNER zur Mathematik besteht in der Entwicklung eines Verfahrens zur vorteilhaften Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen.
Dieses bis Mitte des 20. Jahrhunderts (auch in Schulbüchern) häufig benutzte Verfahren ist im heutigen Computerzeitalter allerdings nahezu gegenstandslos.

Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen

Eine lineare Funktion $f$ mit $f (x) = m x + n (mit m, n \in ℝ; m \neq 0)$ besitzt genau eine Nullstelle $x_{0}$ , sie berechnet sich nach $x_{0} = - \frac{n}{m}$ .
Eine quadratische Funktion $f$ mit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ hat maximal zwei Nullstellen. Diese ergeben sich als (mögliche) Lösungen der Gleichung $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Nullstellen von Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen

Wurzelfunktionen sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen gehören zur Klasse der nichtrationalen Funktionen. Zum Bestimmen der Nullstellen jener Funktionen untersucht man, an welchen Stellen $f (x) = 0$ gilt.
Dabei ist der jeweilige Definitionsbereich der Funktion zu beachten.
Die Graphen der „reinen“ Exponentialfunktionen der Form $f (x) = a^{x} (mit a, c, x \in ℝ; a > 0; a \neq 1)$ verlaufen stets oberhalb der x-Achse und schneiden die y-Achse im Punkte $(0; 1)$ , sie besitzen keine Nullstellen.
Alle „reinen“ Logarithmusfunktionen (als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen zur gleichen Basis) besitzen eine Nullstelle für $x_{0} = 1$ .

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