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  6. Funktionen mit der Gleichung y = f(x) = mx + n

Funktionen mit der Gleichung y = f(x) = mx + n

Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
  y = f ( x ) = m x + n   ( m ,   n ∈ ℝ )
oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.
Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich ( m ,   n ≠ 0 ) gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

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Zusammenhänge, bei denen zwar ein gleichmäßiges (proportionales) Wachsen oder Abnehmen einer Größe erfolgt, der Ausgangswert aber von null verschieden ist, können durch Funktionen mit einer Gleichung der Form y = f(x) = mx + n beschrieben werden.

Beispiel 1: Eine Mietwagenfirma erhebt einen Grundbetrag von 50 Euro und dann für jeden Kilometer weitere 0,25 Euro.
Der für eine Fahrtstrecke von x Kilometern zu zahlende Betrag b (gemessen in Euro) ließe sich dann durch die Funktion
  b ( x ) = 0,25 x + 50   ( m i t       x ∈ ℕ )
beschreiben.

Beispiel 2: Ein Speicher enthält 200   m 3 Wasser. Während der folgenden 24 Stunden fließen pro Stunde jeweils 3   m 3 Wasser zu und 4,5   m 3 ab.
Den aktuellen Inhalt w (gemessen in   m 3 ) nach t Stunden gibt dann die Funktion
  w ( t ) = ( 3 − 4,5 ) t + 200 = − 1,5 t + 200       ( t = 0 ;     1 ;     2 ;     ... ; 24 )
an.

Beispiel 3: Die Betreiberfirma eines Handy-Netzes verlangt eine monatliche Grundgebühr von 10 Euro sowie für jede begonnene Minute eines Inlandgesprächs 2,8 Cent.
Der für ein Gesamtgesprächsdauer von t Minuten zu zahlende Monatsbetrag z (in Euro) wird in diesem Falle durch die Funktion
  z ( t ) = 0,028 t + 10   ( t ∈ ℕ )
angegeben.

  • Eine Funktion f mit einer Gleichung der Form
      y = f ( x ) = m x + n   ( m ,   n ∈ ℝ )
    oder einer Gleichung, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden kann, heißt lineare Funktion.

Für lineare Funktionen ist der Definitionsbereich im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen (so nicht das mathematische oder das entsprechenden Anwendungsproblem einen Einschränkung verlangt), was dann auch für den Wertebereich (  für  m ≠ 0 ) gilt. Die Zahlen m und n sind Parameter.

  • Graphen mit der Gleichung y = mx + n

Eine Funktion der Form y = n, d.h. y = mx + n mit m = 0, heißt konstante Funktion. Der Graph einer konstanten Funktion mit
y = n ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand n.

Für Funktionen mit der Gleichung y = f (x) = mx + n ( m ,   n ≠ 0 ) gilt:

  • Die Graphen bestehen aus Punkten, die auf einer Geraden liegen.
  • n heißt absolutes Glied und gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet.
  • Bei gleichem Anstieg m und unterschiedlichem n sind die Graphen zueinander parallele Geraden.

Zeichnen der Graphen von Funktionen y = mx + n

Die einfachste Möglichkeit, den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, ist das Verwenden von Werten aus einer Wertetabelle. Dabei sollte man leicht errechenbare Werte und im Interesse der Zeichengenauigkeit nicht zu nah beieinander liegende Werte verwenden.

  • Konstante Funktion

Beispiel 4:
Gleichung: y = 0,5x + 1

Wertetabelle:

x

– 2024

y

0123

 

  • y = 0,5x + 1

Man kann zum Zeichnen auch ein Steigungsdreieck und den Schnittpunkt mit der y-Achse (0; n) nutzen.

Beispiel 5:
Es ist der Graph der Funktion y = − 3 2 x − 1 zu zeichnen.
Der Punkt (0; -1) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Von diesem Punkt aus wird das Steigungsdreieck (um 2 Einheiten nach rechts und um 3 Einheiten nach unten) angetragen.

  • y=−32x−1

Nullstellenermittlung

Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu ermitteln, wird in die Funktionsgleichung für y = 0 eingesetzt und die entstehende Bestimmungsgleichung nach x aufgelöst.

Beispiel 6:
Gesucht ist die Nullstelle der Funktion mit y = 3 2 x − 4.
Es ist 0 = 3 2 x − 4 , also 4 = 3 2 x und damit 8 3 = x .
Antwort: Die Nullstelle der Funktion ist x 0 = 8 3 .

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Funktionen mit der Gleichung y = f(x) = mx + n." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/funktionen-mit-der-gleichung-y-fx-mx-n (Abgerufen: 19. May 2025, 20:22 UTC)

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Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für x → ±   ∞ gilt |   f ( x )   | = +   ∞ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
f(x) = p(x) q(x) .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

Definitionslücken

Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
Man unterscheidet zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken.

William George Horner

* 1786 Bristol, England
† 22. September 1837 Bath, England

Der einzige Beitrag des englischen Lehrers WILLIAM GEORGE HORNER zur Mathematik besteht in der Entwicklung eines Verfahrens zur vorteilhaften Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen.
Dieses bis Mitte des 20. Jahrhunderts (auch in Schulbüchern) häufig benutzte Verfahren ist im heutigen Computerzeitalter allerdings nahezu gegenstandslos.

Funktionsbegriff

Der Funktionsbegriff ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik und spielt auch bei Anwendungen der Mathematik in Naturwissenschaft und Technik sowie in Wirtschaft und Gesellschaft eine wichtige Rolle. Seine Entwicklung zur heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden.
Unter einer Funktion f versteht man eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D f eindeutig ein Element y aus einer Menge W f zuordnet. D f heißt der Definitionsbereich, W f der Wertebereich der Funktion f. Man nennt x ∈ D f ein Argument, das zugeordnete Element y ∈ W f den Funktionswert von x bei der Funktion f. Als Kurzschreibweise gibt man die Funktionsgleichung u.a. in der Form y = f ( x ) an.

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