Darstellung von Funktionen

Wir veranschaulichen diese Darstellungsformen mit Bezug auf die folgenden zwei Beispiele.

Beispiel 1

In Wetterstationen wird täglich unter anderem zu bestimmten Zeiten die Lufttemperatur gemessen und aufgezeichnet. Das Ergebnis einer solchen Messung enthält die nachfolgende Tabelle:

Beispiel 2

In eine „Rechenmaschine“ geben wir Zahlen ein. Die Maschine ist so konstruiert, dass sie zu jeder eingegebenen Zahl genau das Dreifache ausgibt: Aus 2 wird auf diese Weise 6, aus 3 wird 9, aus $\pi$ wird $3\pi$ usw.

Die folgende Tabelle gibt für diese Beispiele die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten an:

Im Unterschied zur Beschreibung mittels einer Funktionsgleichung wird eine reelle Funktion durch die anderen Darstellungsformen oft nur unvollständig gekennzeichnet. Die Wortvorschrift findet vor allem immer dann Anwendung, wenn sich die Zuordnung nicht oder nur sehr schwer bzw. umständlich durch eine Gleichung ausdrücken lässt.

Neben den oben angeführten Darstellungsarten für Funktionen nutzt man auch die sogenannte Parameterdarstellung. Sie ist dadurch charakterisiert, dass sowohl die Variable x als auch die Variable y jeweils für sich durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, die einen (gemeinsamen) Parameter t als unabhängige Variable enthält. In diesem Falle gilt also:

$x=f_1\left(t\right)$ und $y=f_2\left(t\right)$

Wird nun nach Wahl eines bestimmten Parameters $t_0$ dem Wert $x_0=f_1\left(t_0\right)$ jeweils der Wert $y_0=f_2\left(t_0\right)$ zugeordnet, so erhält man auf diese Weise eine Abbildung des Wertebereichs von $f_1$ auf den Wertebereich von $f_2$ (die u.U. aber nicht eindeutig ist).

Beispiel 3

Es sei $x=f_1\left(t\right)=\frac{t}{3}$ und $y=f_2\left(t\right)=6t$ mit $D_{f_1}=D_{f_2}=\left]-\infty ;\infty \right[bzw.-\infty <t<\infty .$

Dann erhält man folgende Wertetabellen:

Die Zuordnung von x zu y ist im vorliegenden Falle offensichtlich eindeutig. Es gilt $y=18x.$ Diese Gleichung kann man auch aus den obigen Parametergleichungen durch Elimination von t erhalten:
Mit $t=3x$ gilt $y=f_2\left(t\left(x\right)\right)=6\cdot 3x=18x.$

Beispiel 4

Durch die folgenden Gleichungen wird eine Funktion gegeben, deren Graph ein Halbkreis um den Koordinatenursprung ist:

$x=f_1\left(t\right)=\cos t$ und $y=f_2\left(t\right)=\sin t\left(0\le t\le \pi \right)$