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  6. Darstellung von Funktionen

Darstellung von Funktionen

Für die Darstellung oder Beschreibung von Funktionen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Sind Definitions- und Wertebereich Mengen reeller Zahlen (handelt es sich also um reelle Funktionen), so kommen vor allem folgende Varianten in Frage:

  • Angabe der (geordneten) Paare einander zugeordneter Elemente aus Definitions- und Wertebereich;
  • Beschreibung der Zuordnungsvorschrift in Worten (Wortvorschrift; verbale Beschreibung);
  • Angabe einer die Zuordnung vermittelnden Gleichung y = f ( x ) ;
  • Darstellung der einander zugeordneten Elemente in einer Wertetabelle;
  • Beschreibung durch grafische Darstellungen, z.B. durch ein Pfeildiagramm oder durch Deuten der Zahlenpaare als die Koordinaten von Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem (wodurch man einen Graphen der Funktion erhält)

Neben den oben angeführten Darstellungsarten für Funktionen nutzt man auch die sogenannte Parameterdarstellung. Diese ist dadurch charakterisiert, dass sowohl die Variable x als auch die Variable y jeweils für sich durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, die einen (gemeinsamen) Parameter t als unabhängige Variable enthält.

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Wir veranschaulichen diese Darstellungsformen mit Bezug auf die folgenden zwei Beispiele.

Beispiel 1

In Wetterstationen wird täglich unter anderem zu bestimmten Zeiten die Lufttemperatur gemessen und aufgezeichnet. Das Ergebnis einer solchen Messung enthält die nachfolgende Tabelle:

Uhrzeit4681012141618202224
Temperatur in °C-3-20145320-1-2

Beispiel 2

In eine „Rechenmaschine“ geben wir Zahlen ein. Die Maschine ist so konstruiert, dass sie zu jeder eingegebenen Zahl genau das Dreifache ausgibt: Aus 2 wird auf diese Weise 6, aus 3 wird 9, aus π wird 3 π usw.

Bild

Die folgende Tabelle gibt für diese Beispiele die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten an:

Bild

Im Unterschied zur Beschreibung mittels einer Funktionsgleichung wird eine reelle Funktion durch die anderen Darstellungsformen oft nur unvollständig gekennzeichnet. Die Wortvorschrift findet vor allem immer dann Anwendung, wenn sich die Zuordnung nicht oder nur sehr schwer bzw. umständlich durch eine Gleichung ausdrücken lässt.

Neben den oben angeführten Darstellungsarten für Funktionen nutzt man auch die sogenannte Parameterdarstellung. Sie ist dadurch charakterisiert, dass sowohl die Variable x als auch die Variable y jeweils für sich durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, die einen (gemeinsamen) Parameter t als unabhängige Variable enthält. In diesem Falle gilt also:

  x = f 1 ( t )  und  y = f 2 ( t )

Wird nun nach Wahl eines bestimmten Parameters t 0 dem Wert x 0 = f 1 ( t 0 ) jeweils der Wert y 0 = f 2 ( t 0 ) zugeordnet, so erhält man auf diese Weise eine Abbildung des Wertebereichs von f 1 auf den Wertebereich von f 2 (die u.U. aber nicht eindeutig ist).

Beispiel 3

Es sei x = f 1 ( t ) = t 3  und  y = f 2 ( t ) = 6 t mit D f 1 = D f 2 = ]   − ∞ ;   ∞   [       b z w .       − ∞ < t < ∞ .

Dann erhält man folgende Wertetabellen:

t-9-6-30369
x = f 1 ( t ) = t 3 -3-2-10123
y = f 2 ( t ) = 6 t -54-36-180183654

Die Zuordnung von x zu y ist im vorliegenden Falle offensichtlich eindeutig. Es gilt y = 18 x . Diese Gleichung kann man auch aus den obigen Parametergleichungen durch Elimination von t erhalten:
Mit t = 3 x gilt y = f 2 ( t ( x ) ) = 6 ⋅ 3 x = 18 x .

Beispiel 4

Durch die folgenden Gleichungen wird eine Funktion gegeben, deren Graph ein Halbkreis um den Koordinatenursprung ist:

  x = f 1 ( t ) = cos t  und  y = f 2 ( t ) = sin t   ( 0 ≤ t ≤ π )

Bild

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Darstellung von Funktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/darstellung-von-funktionen (Abgerufen: 19. May 2025, 15:17 UTC)

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Daniel Bernoulli

* 08. Februar 1700 Groningen
† 17. März 1782 Basel

Auf mathematischem Gebiet beschäftigte sich DANIEL BERNOULLI vor allem mit Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Darüber hinaus arbeitete er über Reihen und Differenzialgleichungen.
Seine bedeutendsten wissenschaftlichen Leitungen erzielte er auf dem Gebiet der Hydromechanik, indem ihm die mathematische Beschreibung strömender Flüssigkeiten gelang.

Asymptoten (asymptotische Linien)

Untersucht man ganzrationale Funktionen für beliebige große bzw. kleine x-Werte, so werden auch die Funktionswerte beliebig groß oder klein:
Für x → ±   ∞ gilt |   f ( x )   | = +   ∞ .

Völlig verschieden davon ist das Verhalten gebrochenrationaler Funktionen der Form
f(x) = p(x) q(x) .

Deren Graphen schmiegen sich für beliebig groß bzw. klein werdende Argumente immer mehr an eine Gerade an. Derartige Geraden werden Asymptoten des Graphen der Funktion genannt. Man unterscheidet zwischen waagerechten (horizontalen) und schiefen Asymptoten sowie asymptotischen Linien bzw. Kurven.

Anmerkung: Gelegentlich werden auch die Polgeraden bei vorhandenen Definitionslücken als senkrechte (vertikale) Asymptoten bezeichnet.

Johann Bernoulli

* 6. August 1667 (27. Juli 1667) Basel
† 1. Januar 1748 Basel

JOHANN BERNOULLI trug wesentlich zur Herausbildung moderner Auffassungen zur Infinitesimalrechnung und deren Verbreitung in Europa bei. Gemeinsam mit seinem älteren Bruder JAKOB und in Korrespondenz mit GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ entwickelte er den sogenannten „Leibnizschen Calculus“ weiter, der Begriff Integralrechnung geht auf ihn zurück.
Intensiv beschäftigte sich JOHANN BERNOULLI mit Anwendungen der Infinitesimalrechung auf physikalische und technische Probleme, zum Beispiel untersuchte er das Verhalten strömender Flüssigkeiten.

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Definitionslücken treten insbesondere bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Alle x-Werte, für die die Nennerfunktion den Wert Null annimmt, werden als Definitionslücken bezeichnet.
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Die Analysis (oder auch Infinitesimalrechnung) beschäftigt sich im Wesentlichen mit der Differenzial- und Integralrechnung.
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