Beispiel eines Signifikanztests

Beispiel 1: Für eine beliebte Fernsehsendung eines Regionalsenders ist eine Einschaltquote von 60 % ermittelt worden. Aufgrund eines Moderatorenwechsels vermutet man, dass sich diese Quote verändert haben könnte. Bei einer Befragung mittels TED („Teledialog“) äußern 96 von 200 zufällig ausgewählten Fernsehzuschauern, dass sie die Fernsehsendung regelmäßig sehen.
Es soll untersucht werden, ob aus dem Befragungsergebnis (auf dem Signifikanzniveau $\alpha =\mathrm{0,01}$) geschlussfolgert werden darf, dass sich die Einschaltquote verändert hat.

Da keine weiteren Informationen zur möglichen Veränderung der Einschaltquote vorliegen (höhere oder niedrigere Einschaltquote), wird ein zweiseitiger Signifikanztest konstruiert (denn im vorliegenden Fall sprechen sowohl sehr große und als auch sehr kleine Werte der Zufallsgröße X gegen die Nullhypothese).

Testkonstruktion:
Nullhypothese: $H_0$: $p_0=\mathrm{0,6}$;
[Gegenhypothese: $H_1$: $p_1\ne \mathrm{0,6}$];
Stichprobenumfang n: n = 200;
Signifikanzniveau: $\alpha$: $\alpha =\mathrm{0,01}$.

X: Anzahl derjenigen Zuschauer, die die Fernsehsendung einschalten (unter 200 Befragten);
$X\sim B_{200;\mathrm{0,6}}$ (bei wahrer Nullhypothese $H_0$)

Ermitteln des Ablehnungsbereiches $\overline{A}$:
$\overline{A}=\left\{0;1;\mathrm{..};k_L\right\}\cup \left\{k{}_{R;}{k}_{R+1};\mathrm{...};200\right\}$

Linker Teilbereich: $B_{200;\mathrm{0,6}}\left(\left\{0;1;\mathrm{..};k_L\right\}\right)\le \mathrm{0,005}$
GemäßTabelle der summierten Binomialverteilung $\left[B_{200;\mathrm{0,6}}\left(\left\{0;1;\mathrm{..};101\right\}\right)=\mathrm{0,00405}\le \mathrm{0,005}\right]$ ist diese Ungleichung „letztmals“ für den Wert $k_L=101$ erfüllt.

Rechter Teilbereich:
$\begin{array}{c}{B}_{200;\mathrm{0,6}}\left(\left\{k{}_{R;}{k}_{R+1};\mathrm{...};200\right\}\right)\le \mathrm{0,05}bzw.\\ B_{200;\mathrm{0,6}}\left(\left\{0;1;\mathrm{..};k_R-1\right\}\right)\ge \mathrm{0,995}\end{array}$
GemäßTabelle der summierten Binomialverteilung $\left[B_{200;\mathrm{0,6}}\left(\left\{0;1;\mathrm{..};138\right\}\right)=\mathrm{0,99662}\ge \mathrm{0,995}\right]$ ist diese Ungleichung „erstmals“ für den Wert ${\text{k}}_{\text{R}}-1=\mathrm{138,}also{k}_R=139$ erfüllt.

Als Ablehnungsbereich folgt damit $\overline{A}=\left\{0;1;\mathrm{..};101\right\}\cup \left\{139;140;\mathrm{..};200\right\}$.

Interpretation/Schlussfolgerung:
Da X = 96 und $96\in \overline{A}$, kann die Nullhypothese abgelehnt werden.
Das heißt: Es darf aus dem Befragungsergebnis eine signifikant veränderte Einschaltquote geschlussfolgert werden.

Beispiel 2: Ein Supermarkt einer Kleinstadt gibt in einem Werbematerial an, dass mindestens 75 % aller Kunden, die Waschmittel kaufen, die preisgünstige Marke „Tiefenrein“ wählen. Von einer Mitarbeiterin der Verbraucherschutzzentrale werden 100 Kunden des Supermarktes, die Waschmittel gekauft haben, nach dem Zufallsprinzip befragt. 58 Kunden geben an, die Marke „Tiefenrein“ gekauft zu haben.
Es ist zu untersuchen, ob (auf dem Signifikanzniveau $\alpha =\mathrm{0,05}$) geschlussfolgert werden darf, dass die Angabe im Werbematerial übertrieben hoch ist.

Da man eine zu hohe Prozentangabe vermutet, wird ein (einseitiger) linksseitiger Signifikanztest konstruiert (denn beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Käufer des Waschmittels „Tiefenrein“, so sprechen kleine Werte von X gegen die Nullhypothese).

Testkonstruktion:
Nullhypothese: $H_0$: $p_0\ge \mathrm{0,75}$;
[Gegenhypothese: $H_1$: $p_1<\mathrm{0,75}$];
Stichprobenumfang n: n = 100;
Signifikanzniveau: $\alpha$: $\alpha =\mathrm{0,05}$.

X: Anzahl derjenigen Kunden (von 100 Waschmittelkäufern), die das Waschmittel „Tiefenrein“ kaufen;
$X\sim B_{100;\mathrm{0,75}}$ (bei wahrer Nullhypothese $H_0$)

Ermitteln des Ablehnungsbereiches $\overline{A}$:
$\overline{A}=\left\{0;1;\mathrm{...};k\right\}$; $B_{100;\mathrm{0,75}}\left(\left\{0;1;\mathrm{...};k\right\}\right)\le \mathrm{0,05}$

Gemäß Tabelle der summierten Binomialverteilung $\left[B_{100;\mathrm{0,75}}\left(\left\{0;1;\mathrm{...};67\right\}\right)=\mathrm{0,04460}\le \mathrm{0,05}\right]$ ist diese Ungleichung „letztmals“ für den Wert k = 67 erfüllt. Als Ablehnungsbereich folgt damit $\overline{A}=\left\{0;1;\mathrm{...};67\right\}$.

Interpretation/Schlussfolgerung:
Da X = 58 und $58\in \overline{A}$, ist die Nullhypothese abzulehnen. Das Stichprobenergebnis ist nicht zufällig. Es weist einen signifikanten Unterschied ($\alpha =\mathrm{0,05}$) zur Aussage im Werbematerial auf. Diese Aussage darf somit berechtigt als übertrieben hoch angezweifelt werden.