Cramersche Regel

Diese soll hier am Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen erläutert werden.

Gegeben sei das folgende Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

$\begin{array}{c}{a}_{11}x+a_{12}y=b_1\\ a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{array}$

Zur Berechnung von x und y wird das Additionsverfahren verwendet.
Die folgende Tabelle demonstriert die Vorgehensweise sowohl für die Eliminierung von x als auch für die Eliminierung von y.

Da $D=a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$
die Koeffizientendeterminante darstellt, werden die Determinanten $D_{x}und{D}_y$ derart gebildet, dass die Absolutglieder $b{}_i$ anstelle der jeweiligen Koeffizienten der Variablen geschrieben werden. So entstehen:
$\begin{array}{c}{D}_x=\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|=b_1{a}_{22}-b_2{a}_{12}\\ D_y=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=a_{11}{b}_2-a_{21}{b}_1\end{array}$

Unter der Voraussetzung, dass $D\ne 0$ ist, stellt sich die Lösung des Gleichungssystems folgendermaßen dar:
$x=\frac{D_x}{D}undy=\frac{D_y}{D}$

Beispiel: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{l}2x-5y=1\\ 3x-2y=7\end{array}$

Dann ist:
$\begin{array}{c}D=\left|\begin{array}{cc}2& -5\\ 3& -2\end{array}\right|=-4+15=11\\ D_x=\left|\begin{array}{cc}1& -5\\ 7& -2\end{array}\right|=-2+35=33D_y=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 7\end{array}\right|=14-3=11\end{array}$

Damit erhalten wir als Lösungen:
$\begin{array}{l}\\ x=\frac{33}{11}=3undy=\frac{11}{11}=1\end{array}$

Für lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen x, y und z gilt dann analog:
$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D}undz=\frac{D_z}{D}$

Allgemein besagt die cramersche Regel:

• Für ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten $x_i$ erhält man die Lösung als
  $x_i=\frac{D_{x_i}}{D}(miti=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{...,}n).$
  Dabei ist D die Koeffizientendeterminante und $D_{x_i}$ wird aus D gebildet, indem die Koeffizienten $a_{ki}$ von $x_i$ durch die Absolutglieder $b_k$ ersetzt werden.

Ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen besitzt

1. eine eindeutige Lösung, wenn $D\ne 0$ und die $D_{x_i}$ beliebig sind,
2. eine unendliche Lösungsmenge, wenn $D=0$ und alle $D_{x_i}$ gleich null sind,
3. eine leere Lösungsmenge, wenn $D=0$ und wenigstens ein $D_{x_i}$ von null verschieden ist.