Zwei- und dreireihige Determinanten

Das Schema soll im Folgenden an einfachen Beispielen für $n=2undn=3$ gezeigt werden.

Zweireihige Determinanten

Gegeben sei die Matrix $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right).$

Dann erhält man als Wert der Determinante:

$\det \left(A\right)=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}=a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}$

Die Elemente liegen auf der Hauptdiagonalen, die Elemente $a_{12}und{a}_{21}$ auf der Nebendiagonalen.

• Beispiel 1: Es sei $A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 5\end{array}\right).$
  Dann ist:
  $\det \left(A\right)=\left|\begin{array}{l}34\\ 25\end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot 4=7$

Dreireihige Determinanten

Für $n=3$ sei die Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$ gegeben.

Eine Möglichkeit, eine dreireihige Determinante zu berechnen, bietet die Regel von SARRUS :

$\begin{array}{c}\det \left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}-a_{32}{a}_{23}{a}_{11}-a_{33}{a}_{21}{a}_{12}\end{array}$

Diese Regel lässt sich mithilfe des folgenden Schemas merken.

Die beiden ersten Spalten werden der Determinante hinzugefügt, und dann wird jeweils über die Diagonalen multipliziert. Die Produkte auf den von links oben nach rechts unten führenden Diagonalen erhalten ein positives Vorzeichen, die von links unten nach rechts oben ein negatives.

Während die Regel von SARRUS für $n>3$ nicht mehr angewendet werden kann, ist es möglich, die Berechnung einer Determinante der Ordnung n auf die Berechnung von Unterdeterminanten der Ordnung $n-1$ zurückzuführen.

Dieses auf dem Entwicklungssatz von LAPLACE beruhende Prinzip soll im Folgenden für den Fall $n=3$ schrittweise erläutert werden:

Begonnen wird das Verfahren mit der Auswahl einer beliebigen Zeile oder Spalte der Matrix A (hier zur Demonstration: der ersten Zeile).

Zu jedem Element $a_{ij}$ der ausgewählten Zeile oder Spalte (hier: ) $a_{11},a_{12}und{a}_{13}$ gehört jeweils eine Unterdeterminante $\det \left(A_{ij}\right)$.

Diese wird berechnet, indem aus A die i-te Zeile und die j-te Spalte entfernt werden und von der verbleibenden Matrix die Determinante berechnet wird.

Diese so erhaltenen Unterdeterminanten $\det \left(A_{ij}\right)$ sind dann mit den Faktoren ${\left(-1\right)}^{i+j}{a}_{ij}$ zu multiplizieren.

Zur Berechnung von $\det \left(A\right)$ sind diese entlang der ausgewählten Zeile bzw. Spalte gebildeten Produkte ${\left(-1\right)}^{i+j}{a}_{ij}\det \left(A_{ij}\right)$ aufzusummieren.

Bei Entwicklung von A nach der ersten Zeile ergibt sich im Falle einer dreireihigen Matrix demzufolge:

$\det \left(A\right)=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

• Beispiel 2: Gegeben sei die dreireihige Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ -1& 2& 3\\ 3& -2& 1\end{array}\right).$
  
  Der Wert der Determinante errechnet sich dann wie folgt:
  
  $\begin{array}{c}\det \left(A\right)=2\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 3\\ -2& 1\end{array}\right|-3\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 3& 1\end{array}\right|+4\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -2\end{array}\right|\\ =2\cdot \left(2+6\right)-3\cdot \left(-1-9\right)+4\cdot \left(2-6\right)=30\end{array}$

Abschließend seien noch einige Regeln für das Rechnen mit Determinanten angegeben:

1. Der Wert der Determinante ist gleich null, wenn eine Zeile nur Nullen enthält, zwei Zeilen gleich sind oder als Linearkombination auseinander hervorgehen.
2. Ein gemeinsamer Faktor in allen Elementen einer Zeile kann vor die Determinante geschrieben (d.h. ausgeklammert) werden.
3. Das Vertauschen zweier Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante.
4. Werden Zeilen und Spalten einer Determinante vertauscht (transponiert), so ändert sich der Wert der Determinante nicht.