Lösbarkeitskriterien für inhomogene lineare Gleichungssysteme

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystems mit den n Variablen $x_{i}miti=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}n$ der folgenden Form:
$\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+\mathrm{...}+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+\mathrm{...}+a_{2n}{x}_n=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3+\mathrm{...}+a_{3n}{x}_n=b_3\\ \mathrm{...}\mathrm{...}\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+a_{n3}{x}_3+\mathrm{...}+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

Für die Lösung gibt es drei Möglichkeiten:

1. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, d.h., es besitzt genau einen Lösungsvektor.
2. Das Gleichungssystem ist mehrdeutig lösbar, d.h., der Lösungsvektor ist parameterbehaftet.
3. Das Gleichungssystem ist unlösbar.

Indikatoren für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme sind der Rang der Matrix A (Koeffizientenmatrix) der Rang der um den Vektor der Absolutglieder erweiterten Matrix $A|\overrightarrow{b}$ (erweiterte Koeffizientenmatrix) und die Anzahl der Variablen n.

Im Folgenden untersuchen wir die Lösbarkeit inhomogener linearer Gleichungssysteme.

• Satz 1: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und gleich der Anzahl der Variablen ist.

Beispiel 1: Es ist das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:
$\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=1\\ 2x_1+6x_2+4x_3=0\\ 5x_1+14x_2+7x_3=-1\end{array}$

Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems mit drei Variablen $\left(n=3\right)$ haben folgende Gestalt:
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 6& 4\\ 5& 14& 7\end{array}\right)A|\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 2& 6& 4& 0\\ 5& 14& 7& -1\end{array}\right)$
Umformen ergibt:
$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -2& 2\\ 0& 0& -4\end{array}\right)bzw.\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& -2& 2& 2\\ 0& 0& -4& -2\end{array}\right)$

Es gilt $rgA=rgA|\overrightarrow{b}=3=n$.
Folglich ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, und der Lösungsvektor lautet:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)$

• Satz 2: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt genau dann unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und kleiner als die Anzahl der Variablen ist.

Beispiel 2:
$\begin{array}{l}2x_1+2x_2+6x_3=3\\ 4x_1+11x_2+8x_3=3\\ 10x_1+26x_2+22x_3=9\end{array}$

Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems mit drei Variablen $\left(n=3\right)$ haben folgende Gestalt:
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 11& 8\\ 10& 26& 22\end{array}\right)A|\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 3\\ 4& 11& 8& 3\\ 10& 26& 22& 9\end{array}\right)$
Umformen ergibt:
$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 0& -3& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)bzw.\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 3\\ 0& -3& 4& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
Es ist $rgA=rgA|\overrightarrow{b}=2<n.$ Somit ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar mit folgendem Lösungsvektor:
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}\frac{7}{2}\\ -1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-\frac{17}{3}\\ \frac{4}{3}\\ 1\end{array}\right)$

• Satz 3: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt genau dann keine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.

Beispiel 3:
$\begin{array}{l}3x_1+6x_2+9x_3=7\\ 6x_1+14x_2+12x_3=12\\ 15x_1+34x_2+33x_3=21\end{array}$

Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems mit drei Variablen $\left(n=3\right)$ haben folgende Gestalt:
$A=\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 6& 14& 12\\ 15& 34& 33\end{array}\right)A|\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{cccc}3& 6& 9& 7\\ 6& 14& 12& 12\\ 15& 34& 33& 21\end{array}\right)$
Für den Rang dieser Matrizen erhält man nach Umformen:
$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccc}3& 6& 9\\ 0& -2& 6\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow rgA=2\\ \left(\begin{array}{cccc}3& 6& 9& 7\\ 0& -2& 6& 2\\ 0& 0& 0& 10\end{array}\right)\Rightarrow rgA|\overrightarrow{b}=3\end{array}$
Folglich ist das Gleichungssystem unlösbar.