Komplanare und nichtkomplanare Punkte (und Vektoren)

Komplanarität von Punkten

Punkte bezeichnet man als komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Drei (verschiedene) Punkte des Raumes liegen stets in einer gemeinsamen Ebene. Durch sie wird auch eine Ebene eindeutig bestimmt, sofern die Punkte nicht kollinear sind.
Durch drei kollineare Punkte wird keine Ebene, sondern nur eine Gerade beschrieben.

• Beispiel: Es ist zu prüfen, ob die folgenden vier Punkte in einer Ebene liegen:
  $P_1\left(1;-1;2\right),P_2\left(3;1;5\right),P_3\left(2;1;4\right)und{P}_4\left(5;5;9\right)$

Lösungsweg 1 (Überprüfen mittels Ebenengleichung)
Es wird eine Gleichung für die Ebene durch drei der gegebenen Punkte, etwa $P_1,P_2,P_3$, aufgestellt:
$\epsilon \text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
Um zu überprüfen, ob der Punkt $P_4$ ebenfalls in $\epsilon$ liegt, setzt man den Ortsvektor von $P_4$ mit der Gleichung von $\epsilon$ gleich:
$\left(\begin{array}{c}5\\ 5\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

Für $r=1unds=2$ ist das Gleichungssystem erfüllt, d.h. $P_4$ liegt in der Ebene $\epsilon$. Die vier Punkte sind also komplanar.

Lösungsweg 2 (Überprüfen mittels Spatprodukt)
Die Entscheidung über die Komplanarität der vier Punkte $P_1,P_2,P_{3}und{P}_4$ kann auch mithilfe des Vektorprodukts bzw. des Spatprodukts getroffen werden.
Bei Letzterem macht man sich zunutze, dass der Betrag des Spatprodukts $\left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)\cdot \overrightarrow{c}$ dreier Vektoren das Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelepipeds angibt. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so hat dieses Parallelepiped das Volumen 0.
Daher gilt: Die vier Punkte $P_1,P_2,P_{3}und{P}_4$ des Raumes liegen genau dann in einer Ebene, wenn $\left(\overrightarrow{P_1{P}_2}\times \overrightarrow{P_1{P}_3}\right)\cdot \overrightarrow{P_1{P}_4}=0$ ist.
Das ist für die oben gegebenen Punkte erfüllt, denn es gilt:
$\left(\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ 7\end{array}\right)=0$

Komplanarität von Vektoren

Drei Vektoren, die durch Pfeile ein und derselben Ebene beschrieben werden können, heißen komplanar, das heißt:

• Drei Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}und\overrightarrow{c}$ sind komplanar, wenn sich einer von ihnen als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt, z.B. $\overrightarrow{a}=r\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}.$

Als Beispiel betrachten wir die folgenden drei Vektoren:
$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -6\end{array}\right);\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)und\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$
Es lässt sich die Linearkombination $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}$ bilden, denn es gilt:$\left(\begin{array}{c}10\\ 4\\ -6\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$
Die Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}und\overrightarrow{c}$ sind also komplanar.

Werden dagegen die Vektoren
$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}und\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$
betrachtet, dann kann kein Paar reeller Zahlen r und s gefunden werden, für das $\overrightarrow{a}=r\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{d}$ gilt.
Folglich sind $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}und\overrightarrow{d}$ nicht komplanar.