Kugel und Tangentialkegel

Die Gleichung dieser Ebene lässt sich wie folgt ermitteln
(siehe dazu die folgende Abbildung):
$\begin{array}{l}\left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{p}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)=0\\ \left[\left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)-\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{m}\right)\right]\cdot \left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)=0\\ \left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)-\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{m}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)=0\\ \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{m}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)=r^2\end{array}$

Alle Berührungspunkte $P_0$ müssen demzufolge die Gleichung $\left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{m}\right)\cdot \left(\overrightarrow{p_0}-\overrightarrow{m}\right)=r^2$ erfüllen, wobei $\overrightarrow{m}$ der Ortsvektor des Mittelpunktes der Kugel k, $\overrightarrow{p}$ der Ortsvektor der Spitze des Tangentialkegels P und $\overrightarrow{p_0}$ der Ortsvektor des Berührungspunktes $P_0$ ist.

Der Schnittkreis dieser Ebene mit der Kugel ist der Kreis, auf dem alle Berührungspunkte des Tangentialkegels mit der Spitze P an die Kugel k liegen.

Die Koordinaten des Mittelpunktes $M\text{'}$ und des Radius $r\text{'}$ dieses Berührungskreises ermittelt man also wie die des Schnittkreises einer Ebene mit einer Kugel.

• Beispiel: Es ist der Berührungskreis des Tangentialkegels mit der Spitze $P\left(2;-7;3\right)$ an die Kugel k mit $M\left(5;-4;1\right)$ und $r=4$ zu ermitteln.

Die Ebene der Berührungspunkte ist durch die folgenden Gleichungen gegeben:
$\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)\right]\cdot \left[\left(\begin{array}{c}2\\ -7\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)\right]=16bzw.-3x-3y+2z=15$
Die durch M in Richtung
$\overrightarrow{n_{\epsilon }}=\left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 2\end{array}\right)$
verlaufende Gerade hat dann die Punktrichtungsgleichung
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 2\end{array}\right).$
Ermitteln des Mittelpunktes des Schnittkreises
$\begin{array}{c}-3\cdot \left(5-3t\right)-3\cdot \left(-4-3t\right)+2\cdot \left(1+2t\right)=15\\ 22t=16\\ t=\frac{8}{11}\end{array}$
Daraus ergibt sich der Mittelpunkt $M\text{'}\left(\frac{31}{11};-\frac{68}{11};\frac{27}{11}\right).$
Ermitteln des Abstandes d des Mittelpunktes M von der Ebene
$d=\left|\left[\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 0\end{array}\right)\right]\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 2\end{array}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{22}}\right|=\frac{16}{\sqrt{22}}$
Als Radius des Berührungskreises ergibt sich dann:
$r\text{'}=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{16-\frac{256}{22}}=\sqrt{\frac{48}{11}}\approx \mathrm{2,1}$