Taylor-Polynome

Die Tangentenfunktion $f_t$ liefert für eine differenzierbare Funktion f in einer hinreichend kleinen Umgebung der zugehörigen Berührungsstelle $x_0$ gute Näherungen der Funktionswerte von f.

Die Tangentenfunktion mit der Gleichung $f_t(x)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$ ist also in dieser Umgebung von $x_0$ eine lineare Näherungsfunktion der Funktion f. Für eine hinreichend kleine Umgebung von $x_0$ gilt damit $f(x)\approx f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$.
Man sagt, die Funktion wurde linearisiert.

Eine noch bessere Approximation erzielt man mithilfe ganzrationaler Funktionen höheren Grades.

Bereits in der Tangentenfunktion tritt die 1. Ableitung als Koeffizient auf. Dies gibt zu der Vermutung Anlass, dass möglicherweise ein Zusammenhang zwischen den Koeffizienten des Näherungspolynoms und den Ableitungen der gegebenen Funktion besteht.

Die entsprechenden Beziehungen bilden die taylorsche Formel für ganzrationale Funktionen:

• Ist eine ganzrationale Funktion y = f(x) in einer Umgebung von $x_0=0$ n-mal differenzierbar, so existiert das Polynom
  $T_n(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n.$
  Es wird das n-te taylorsche Polynom von y = f(x) genannt.
  Man sagt auch: Die Funktion y = f(x) ist an der Stelle 0 nach TAYLOR entwickelt.

Statt 0 als Entwicklungsstelle zu wählen, kann man die Funktion $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$ auch an jeder anderen Stelle $x_0\in D_f$ entwickeln.

Dazu ersetzt man zweckmäßigerweise zunächst x durch $(x-x_0)+x_0$ und ordnet dann nach steigenden Potenzen von $(x-x_0)$ und erhält:
$T_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}{(x-x_0)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{(x-x_0)}^n$

• Beispiel: Für die ganzrationale Funktion $f(x)={(x-1)}^3+{(x+2)}^2$ ist das TAYLOR-Polynom an den Stellen $x_0=0und{x}_0{}^{\ast }=1$ zu ermitteln.

Für die Ableitungen von f(x) erhält man
$f^{\prime }(x)=3{(x-1)}^2+2(x+2);f^{″}(x)=6(x-1)+2;f^{‴}(x)=6$
und somit
$\begin{array}{l}f(0)=3;f^{\prime }(0)=7;f(1)=9;f^{\prime }(1)=6;\\ f^{″}(0)=-4;f^{‴}(0)=6;f^{″}(1)=2;f^{‴}(1)=6.\end{array}$
Nach den taylorschen Formeln erhält man daraus als TAYLOR-Polynom
$\begin{array}{l}anderStelle{x}_0=0:T_3(x)=3+7x-2x^2+x^3,\\ anderStelle{x}_0{}^{\ast }=1:T_3{}^{\ast }(x)=9+6(x-1)+{(}^x+{(}^x.\end{array}$