Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen sind spezielle Potenzfunktionen, wenn man als Exponenten nicht nur ganze Zahlen, sondern auch gebrochene Zahlen zulässt:
$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}\left(x\ge 0;m,n\in \mathbb{N};m\ge 1;n\ge 2\right)$
Anmerkung: Verwendet man die Bruchpotenzschreibweise, so muss $x\ge 0$ gefordert werden, da Bruchpotenzen nur für positive Basen erklärt sind.

Als Wurzelfunktionen bezeichnet man im weiteren Sinne ebenfalls alle Funktionen, in deren Funktionsterm das Argument x als Bestandteil eines Wurzelradikanden auftritt,
z. B. also $f\left(x\right)=\sqrt[4]{x-2},g\left(x\right)=5\sqrt{4-x^3}$.

Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$ auf. Die Funktion $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu $y=g\left(x\right)=x^2$, jedoch nur für $x\ge 0$, da die Gleichung $g\left(x\right)=x^2$ keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.

Anmerkung:
$f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ist nicht äquivalent zu ${\left[f\left(x\right)\right]}^2=x$, da Quadrieren keine äquivalente Umformung darstellt. Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, dann erhält man nach der Quadratwurzeldefinition $\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{x}$ mit folgender Fallunterscheidung:
(1) $f_1\left(x\right)=\sqrt{x}$, wenn $f\left(x\right)\ge 0$
(2) $f_2\left(x\right)=-\sqrt{x}$, wenn $f\left(x\right)\le 0$
$f_1\left(x\right)=\sqrt{x}$ ist die Umkehrung von $g_1\left(x\right)=x^2$ mit $x\ge 0$,
$f_2\left(x\right)=-\sqrt{x}$ ist die Umkehrung von $g_2\left(x\right)=x^2$ mit $x\le 0$.

Für Wurzelfunktionen $y=f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}\left(x\ge 0;n\in N;n\ge 2\right)$
gelten die in der folgenden Tabelle zusammengestellten Eigenschaften.