Berechnungen am Kreis

Umfang eines Kreises

Um den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser d zu bestimmen, kann man von den Umfängen eines einbeschriebenen und eines umbeschriebenen Vielecks ausgehen, z. B. eines regelmäßigen Sechsecks (Bild 1). Der Umfang $u_{u6}$ des einbeschriebenen Sechsecks ($u_{u6}$= 3 · d) ist kleiner, der Umfang $u_{u6}$ des umbeschriebenen Sechsecks ($u_{u6}$ = 3,46 · d) ist größer als der Umfang des Kreises:
$3\cdot d<u<\mathrm{3,46}\cdot d$

Der Faktor, mit dem man d multiplizieren muss, um u zu erhalten, ist eine der wichtigsten und interessantesten mathematischen Konstanten. Sie wird mit $\pi$ bezeichnet:
$\pi$ = 3,141592653589793238…
Näherungsweise wird oft $\pi$= 3,14 verwendet.

Für den Umfang des Kreises gilt:
$u=\pi \cdot d=\pi \cdot 2r$

Länge eines Kreisbogens

Die Länge eines Kreisbogens b hängt von der Länge des Durchmessers und von der Größe des zugehörigen Mittelpunktswinkels $\alpha$ ab (Bild 2). Für den ganzen Kreis ist der Mittelpunktswinkel $360°$ und die Länge des Bogens gleich dem Umfang, woraus sich die Proportion $b:\alpha =u:360°$ ergibt.

Für die Länge des zum Mittelpunktswinkel gehörenden Bogens gilt:
$b=u\cdot \frac{\alpha }{360°}mitu=2\pi r$
$b=2\pi r\cdot \frac{\alpha }{360°}=\frac{\pi r\alpha }{180°}$

Flächeninhalt eines Kreises

Wenn man um und in einen Kreis jeweils ein Quadrat zeichnet, kann man mithilfe dieser Quadrate den Flächeninhalt eines Kreises einschachteln (Bild 3).

$\begin{array}{l}{A}_i=\frac{2r\cdot r}{2}\cdot 2A_{ä}=2r\cdot 2r\\ A_i=2r^2{A}_{ä}=4r^2\\ A_i<A_{Kreis}<A_{ä}\\ 2r^2<A_{Kreis}<4r^2\end{array}$

Der Flächeninhalt eines Kreises liegt also zwischen $2r^2$ und $4r^2$.

Eine weitere Möglichkeit, den Flächeninhalt des Kreises zu bestimmen, ist die Zerlegung in Teilflächen, die sich annähernd zu einem Parallelogramm mit der Grundseite $\frac{u}{2}$ und der Höhe r umlegen lassen (Bild 4).
Bei Vergrößerung der Anzahl der Teilflächen wird die Annäherung an ein Parallelogramm immer besser.
Für den Flächeninhalt A eines Kreises gilt dann:
$A=\frac{u}{2}\cdot r$
Für $u=2\pi r$ eingesetzt ergibt sich:
$A=\frac{2\pi r}{2}\cdot r=\pi r^2$
Der Flächeninhalt eines Kreises ist das Produkt aus der Kreiszahl und dem Quadrat seines Radius r. Es gilt:
$A=\pi r^2$ bzw. $A=\pi \cdot \frac{d^2}{4}$

Flächeninhalt eines Kreisausschnitts (Kreissektors)

Der Teil einer Kreisfläche, der von zwei Radien r und einem Kreisbogen b begrenzt wird, heißt Kreisausschnitt (Bild 5).
Der Flächeninhalt A eines Kreisausschnitts ist proportional zu dem zugehörigen Mittelpunktswinkel $\alpha$, da sich bei Verdopplung von $\alpha$ auch A verdoppelt. Der Anteil des Flächeninhalts des Kreisausschnitts A am Flächeninhalt des Kreises $\pi \cdot r^2$ entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels $\alpha$ am Vollwinkel $360°$.

In einem Kreis mit dem Radius r gilt für den Flächeninhalt A eines Kreisausschnitts mit dem dazugehörigen Mittelpunktswinkel $\alpha$:
$A=\pi \cdot r^2\cdot \frac{\alpha }{360°}$

Flächeninhalt eines Kreisabschnitts (Kreissegments)

Der Flächeninhalt des Kreisabschnitts ergibt sich aus der Differenz der Flächeninhalte des Kreisausschnitts und des Dreiecks ABM (Bild 6):
$A=\frac{1}{2}\cdot b\cdot r-\frac{1}{2}\cdot s\left(r-h\right)$

Flächeninhalt eines Kreisrings

Für den Flächeninhalt eines Kreisrings gilt (Bild 7):
$A=\pi \cdot r_2{}^2-\pi \cdot r_1{}^2$