Dezimalbrüche

Gemeine Brüche $\frac{z}{n}$ lassen sich in Dezimalbrüche umwandeln, indem man den Zähler z durch den Nenner n dividiert.

Der so entstehende Dezimalbruch wird

• endlich genannt, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält, z. B.
  $\frac{3}{40}=\frac{3}{2^3\cdot 5}=\mathrm{0,075}\frac{143}{125}=\frac{143}{5^3}=\mathrm{1,144}\frac{7}{2500}=\frac{7}{2^2\cdot 5^4}=\mathrm{0,0028}$
   
• rein periodisch genannt, wenn der Nenner die Primfaktoren 2 und 5 nicht enthält, z. B.
  $\frac{1}{3}=\mathrm{0,}\overline{3}\frac{5}{13}=\mathrm{0,}\overline{384615}\frac{2}{7}=\mathrm{0,}\overline{285714}$
  Die Periode wird im Allgemeinen dadurch angegeben, dass die sich wiederholenden Ziffern überstrichen werden.
   
• gemischt periodisch (periodisch erst nach einer endlichen Vorperiode) genannt, wenn der Nenner (mindestens) einen der Primfaktoren 2 oder 5 und noch (mindestens) einen anderen Primfaktor enthält, z. B.
  $\frac{1}{6}=\frac{1}{2\cdot 3}=\mathrm{0,1}\overline{6}\frac{3}{28}=\mathrm{0,10}\overline{714285}\frac{323}{375}=\mathrm{0,861}\overline{3}$

Die Länge der Vorperiode ist gleich der höchsten Potenz, die einer der Primfaktoren 2 oder 5 des Nenners hat, wobei Zähler und Nenner als teilerfremd vorausgesetzt werden (Bruch weitestgehend gekürzt). So ist bezogen auf die obigen Beispiele:

• $6=2\cdot 3$, höchste Potenz von 2 ist 1;
  Länge der Vorperiode: 1(0,1...)
• $28=2^2\cdot 7$, höchste Potenz von 2 ist 2;
  Länge der Vorperiode: 2 (0,10...)
• $375=3\cdot 5^3$, höchste Potenz von 5 ist 3;
  Länge der Vorperiode: 3 (0,861...)

Die Länge der Periode hängt ebenfalls von den Primfaktoren des Nenners ab. Die Periodenlänge ist im Höchstfall um 1 kleiner als der Nenner, oftmals ist die Periode aber kürzer. So ist:
          $\frac{1}{9}=\mathrm{0,}\overline{1}$ Periodenlänge: 1
        $\frac{11}{13}=\mathrm{0,}\overline{076923}$ Periodenlänge: 6
          $\frac{3}{7}=\mathrm{0,}\overline{428571}$ Periodenlänge: 6 (maximal)
Hat ein Stammbruch die maximale Periodenlänge, so ergeben seine Vielfachen Dezimalbrüche, deren Perioden die gleiche Ziffernfolge haben, nur mit jeweils einer anderen Ziffer beginnen.
          $\begin{array}{l}\frac{1}{7}=\mathrm{0,}\overline{142857}\frac{2}{7}=\mathrm{0,}\overline{285714}\frac{3}{7}=\mathrm{0,}\overline{428571}\\ \frac{4}{7}=\mathrm{0,}\overline{571428}\frac{5}{7}=\mathrm{0,}\overline{714285}\frac{6}{7}=\mathrm{0,}\overline{857142}\end{array}$