Gleichungen, grafisches Lösen

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwändig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen.

Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion. Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

Beispiel :
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung ${10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x=0$ für $x\ge 4.$

(1) Es sind die Nullstellen der Funktion $f(x)={10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x$ zu ermitteln.
(2) Aufstellen einer Wertetabelle z. B. für $-4<x<4\text{:}$

(3) Grafische Darstellung von f und Ablesen der Nullstelle:

(4) Wertetabelle mit verfeinerten Intervallen, z. B. für $-4<x<-3\text{:}$

(5) Grafische Darstellung von f für das Intervall $-4<x<-3$ und erneutes Ablesen der Nullstelle:

Die Lösung der Gleichung ${10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x=0$ im angegebenen Intervall lautet demnach näherungsweise $x\approx \mathrm{3,6.}$

Stehen elektronische Hilfsmittel wie grafikfähige Taschenrechner oder Computer mit Funktionsplotter oder Tabellenkalkulation zur Verfügung, kann die grafische Darstellung sehr schnell erfolgen. Das Ablesen der Nullstelle geschieht dann (mitunter in grober Näherung) vom Display bzw. Bildschirm. Bei vielen Systemen verhilft eine TRACE- oder ZOOM-Funktion zu einer Lösungsangabe mit sehr guter Näherung (interaktives Rechenbeispiel). (Verschiedene Grafikrechner verfügen auch über spezielle Funktionen, die die Nullstellen auf Anforderung direkt angeben.)

So kann die Funktion aus obigem Beispiel mit einem grafikfähigen Taschenrechner sehr schnell dargestellt werden. Durch Abfahren der Kurve mit dem Cursor bis zum Schnittpunkt mit der x-Achse erhält man sehr schnell den Näherungswert $x\approx \mathrm{3,6.}$

Variante
Lässt sich die Ausgangsfunktion in zwei bequem darstellbare Funktionen zerlegen, die (ggf. nach Umformungen) gleich sind, so werden beide Funktionen grafisch dargestellt. Die Lösungen der Ausgangsgleichung ergeben sich hierbei als Abszissenwerte der Schnittpunkte beider Graphen.

So lässt sich die Gleichung ${10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x=0$ zu ${10}^{\mathrm{0,1}x}=\sin x$ umformen. Nun werden die zwei Funktionen $f(x)={10}^{\mathrm{0,1}x}undg(x)=\sin x$ grafisch dargestellt. Auch ohne Hilfsmittel ist das (wegen der bekannten Sinusfunktion) in diesem Beispiel einfacher, als bei der ersten Variante. Die x-Koordinate des Schnittpunkts beider Graphen kann nun näherungsweise abgelesen werden. Schneller geht es auch hier mithilfe eines grafikfähigen Taschenrechners: