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Gleichungen, Inhaltliches Lösen

Das Lösen von Gleichungen (Ungleichungen) gelingt oftmals durch einfache Überlegungen ohne Anwendung formaler Regeln. Man spricht dann vom inhaltlichen Lösen einer Gleichung (Ungleichung) im Unterschied zum kalkülmäßigen Lösen (Anwenden von Lösungsverfahren).
Zu den Verfahren des inhaltlichen Lösens einer Gleichung (Ungleichung) zählt man im Allgemeinen das Zerlegen von Termen und Zahlen, das Einsetzen bzw. das systematische Probieren, das Rückwärtsschließen und das Schließen unter Benutzung von Veranschaulichungen.

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Das Lösen von Gleichungen (Ungleichungen) gelingt oftmals durch einfache Überlegungen ohne Anwendung formaler Regeln. Man spricht vom inhaltlichen Lösen einer Gleichung (Ungleichung) im Unterschied zum kalkülmäßigen Lösen (Anwenden von Lösungsverfahren).

Zu den Verfahren des inhaltlichen Lösens einer Gleichung (Ungleichung) zählt man im Allgemeinen das Zerlegen von Termen, das Einsetzen bzw. das systematische Probieren, das Rückwärtsschließen und das Schließen unter Benutzung von Veranschaulichung.

Zerlegen von Termen und Zahlen

Durch Zerlegen von Zahlen und Termen in Summen, Produkte oder Differenzen kann man die Lösungen durch Vergleichen der Termbestandteile finden.

Beispiele:
2   x + 15 = 25     11 ⋅   ( x + 1,5 ) = 44       x 2 − 2 = 10   10 + 15 = 25             11 ⋅ 4 = 44         12 − 2 = 10     2 ⋅ x = 10           x + 1,5 = 4             x 2 = 12       x = 5                 x = 2,5                 x = 24

Einsetzen bzw. systematisches Probieren

Man setzt nacheinander verschiedene Zahlen aus dem Grundbereich in die Gleichung (Ungleichung) ein und prüft, ob man eine wahre Aussage erhält. Günstig ist dabei das Anlegen einer Tabelle.

Beispiel: Bild

Rückwärtsschließen

Oft ist ein Vorgehen günstiger, bei dem man die Gleichung gewissermaßen von rückwärts her betrachtet. Dabei werden, beginnend mit dem Ergebnis, die Umkehroperationen schrittweise rückwärts angewendet.

Beispiele: Bild

Schließen unter Benutzung von Veranschaulichungen

Viele mathematische Sachverhalte lassen sich zeichnerisch darstellen. Mithilfe von Skizzen, Fließschemata oder einfachen symbolhaften Darstellungen lassen sich Lösungen finden. Die Überprüfung der Richtigkeit erfolgt dann an der jeweiligen Gleichung.

Beispiele: Bild

  • BWS-MAT1-0439-01.pdf (46.9 KB)
  • BWS-MAT1-0439-02.pdf (42.49 KB)
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Gleichungen, Inhaltliches Lösen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/gleichungen-inhaltliches-loesen (Abgerufen: 10. June 2025, 04:16 UTC)

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Lineare Gleichungssysteme, Grafisches Lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (I und II) mit jeweils den Variablen x und y.
I     a 1 x + b 1 y = c 1     a 1 ,b 1 ,c 1 ∈ ℚ II       a 2 x + b 2 y = c 2       a 2 ,b 2 ,c 2 ∈ ℚ
Zur Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems gehören die Zahlenpaare, die sowohl zur Lösungsmenge der Gleichung I als auch zur Lösungsmenge der Gleichung II gehören.

Lineare Ungleichungen, mit einer Variablen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen > ,    < ,    ≤ ,    ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form ax + b < 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Lineare Ungleichungen, mit zwei Variablen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen < ,     > ,     ≤ ,     ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form a x + b y + c < 0       ( a ,   b ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

Proben

Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

  • das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
  • das Prüfen der Lösungen am Aufgabentext,
  • das Ausführen der Umkehroperationen,
  • das Nutzen von Rechenregeln (z. B. Teilbarkeitsregeln) oder
  • das grafische Lösen einer numerischen Aufgabe.

Ungleichungen, Äquivalentes Umformen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, ≤ , ≥ oder ≠ steht, bilden eine Ungleichung.

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

  • Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
    (Aus < wird >, aus ≤ wird ≥ und umgekehrt.)
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