Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik
  3. 5 Gleichungen und Ungleichungen
  4. 5.2 Grundlagen der Gleichungslehre
  5. 5.2.3 Proben bei Gleichungen und Ungleichungen
  6. Proben

Proben

Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

  • das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
  • das Prüfen der Lösungen am Aufgabentext,
  • das Ausführen der Umkehroperationen,
  • das Nutzen von Rechenregeln (z. B. Teilbarkeitsregeln) oder
  • das grafische Lösen einer numerischen Aufgabe.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

  • das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
  • das Prüfen der Lösungen am Aufgabentext,
  • das Ausführen der Umkehroperationen,
  • das Nutzen von Sätzen (z. B. Satz von Vieta),
  • das Nutzen von Rechenregeln (z. B. Teilbarkeitsregeln) oder
  • das grafische Lösen einer numerischen Aufgabe.

Beispiel 1:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung x + (5 + 3x) = 29 für G = ℚ .
           x + (5 + 3x) = 29
              x + 5 + 3x = 29
                    4x + 5 = 29
                          4x = 24
                            x = 6
                            L = {6}

Probe:
linke Seite: 6 + (5 + 3 6) = 6 + 23 = 29
rechte Seite: 29
Vergleich: 29 = 29; wahre Aussage, d. h. x = 6; L = {6}.

Beispiel 2:
In einer Schule sind 15-mal so viele Schüler wie Lehrer. Zusammen sind es 544 Personen. Wie viele Schüler und Lehrer sind an der Schule?

Anzahl der Lehrer: x              Anzahl der Schüler: 15x

          x + 15x = 544
                16x = 544
                    x = 34
                    L = {34}, da G = ℕ

Probe am Text:
34 Lehrer und 510 Schüler sind zusammen 544 Personen.
Antwort:
An der Schule sind 510 Schüler und 34 Lehrer.

Beispiel 3:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung 4x + 16 = 48.
4   x + 16 = 48         4   x = 32         x = 8

Probe durch Rückwärtsarbeiten:
          4 ⋅ 8 = 32 32 + 16 = 48

Beispiel 4:
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung x 2 – 12x + 32 = 0 .
x 2 – 12x + 32 = 0 x 1;2 = − p 2 ± p 2 4 − q x 1;2 = 6 ± 36 − 32 x 1;2 = 6 ± 2 x 1 = 8     x 2 = 4     L = {   8;   4   }
Probe mithilfe des Satzes von Vieta:
  x 1 + x 2 = −   p             x 1 ⋅ x 2 = q   8 + 4 = 12 ⇒ p = – 12               8 ⋅ 4 = 32 ⇒ q = 32

Beispiel 5:
7146 : 9 = 794
Erster Schritt innerhalb der Probe mithilfe der Teilbarkeitsregel:
Die Quersumme von 7146 ist 18, 18 ist durch 9 teilbar.

Beispiel 6:
Gesucht ist die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
I             2 x − y = – 1   |   ⋅ ( – 1 ) I I             2 x + 2 y = 8 I a         − 2 x + y = 1 I I               2 x + 2 y = 8 I a + I I                 3 y = 9   |   : 3     y = 3   i n   I I :     2 x + 2 ⋅ 3 = 8             y = 3                           x = 1 L = {   ( 1   ;   3 )   }
Die Lösung des linearen Gleichungssystems entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen der entsprechenden Funktionsgleichungen.

Graphen der Funktionen y = 2x + 1 und y = –x + 4

 

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Proben." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/proben (Abgerufen: 01. July 2025, 07:50 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Probe
  • Probe am Text
  • Probe durch Rückwärtsarbeiten
  • Teilbarkeitsregel
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Intervalle

Eine Menge reeller Zahlen nennt man Intervall, wenn sie sich auf der Zahlengeraden als Strecke darstellen lässt.
Gehören die Randwerte mit zum Intervall, spricht man von einem abgeschlossenen Intervall, gehören sie nicht zur dargestellten Menge, spricht man von einem offenen Intervall.

Lineare Gleichungssysteme, Grafisches Lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (I und II) mit jeweils den Variablen x und y.
I     a 1 x + b 1 y = c 1     a 1 ,b 1 ,c 1 ∈ ℚ II       a 2 x + b 2 y = c 2       a 2 ,b 2 ,c 2 ∈ ℚ
Zur Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems gehören die Zahlenpaare, die sowohl zur Lösungsmenge der Gleichung I als auch zur Lösungsmenge der Gleichung II gehören.

Lineare Ungleichungen, mit einer Variablen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen > ,    < ,    ≤ ,    ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form ax + b < 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Lineare Ungleichungen, mit zwei Variablen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen < ,     > ,     ≤ ,     ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form a x + b y + c < 0       ( a ,   b ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

Ungleichungen, Äquivalentes Umformen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, ≤ , ≥ oder ≠ steht, bilden eine Ungleichung.

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

  • Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
    (Aus < wird >, aus ≤ wird ≥ und umgekehrt.)
Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025