Ungleichungen, Äquivalentes Umformen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, $\le$, $\ge$, oder $\ne$ steht, bilden eine Ungleichung.

Das Zeichen $\le$ ist zusammengesetzt aus „<“ und „=“. Es bedeutet „ist kleiner oder gleich“.
Das Zeichen $\ge$ ist zusammengesetzt aus „>“ und „=“.
Es bedeutet „ist größer oder gleich“.

Beispiel:
8 $\le$15 bedeutet 8 < 15 oder 8 = 15.
8 < 15 ist eine wahre Aussage. 8 = 15 ist eine falsche Aussage.
Die erste der beiden Teilaussagen ist wahr. Deshalb ist 8 $\le$15 eine wahre Aussage.

Darstellung der Lösungsmenge einer Ungleichung

Beispiel:
Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung x + 9 < 15 für x$\in$ $\mathbb{N}$.

• Die Lösungsmenge kann in Worten beschrieben werden:
  Die Lösungsmenge der Ungleichung besteht aus allen natürlichen
  Zahlen, die kleiner sind als 6.
   
• Die Lösungsmenge kann in der Mengenschreibweise dargestellt werden:
  $L=\left\{0;1;2;3;4;5\right\}$
   
• Die Lösungsmenge kann auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden:

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

• Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
• Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
• Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
• Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
  (Aus < wird >, aus $\le$ wird $\ge$und umgekehrt.)

$\begin{array}{l}4\left(x+5\right)+4x\le 4\left(4x-1\right)+18\\ 4x+20+4x\le 16x-4+18\\ 8x+20\le 16x+14\text{|}-16x\\ -8x+20\le 14|-20\\ -8x\le -6|:\left(-8\right)\\ x\ge \frac{3}{4}\\ \end{array}$