Wissenstest - Gleichungen und Ungleichungen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Wissenstest - Gleichungen und Ungleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/wissenstest-gleichungen-und-ungleichungen (Abgerufen: 19. July 2025, 00:48 UTC)

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Verhältnisgleichungen

Viele Probleme, bei denen mit drei gegebenen Größen eine vierte berechnet wird, führen auf Verhältnisgleichungen (Proportionen).
Eine Gleichung der Form
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} (a,b,c,d \neq 0)$
heißt Verhältnisgleichung oder Proportion.
Dabei wird der Quotient zweier Größen als Verhältnis bezeichnet. Verhältnisgleichungen haben eine große Bedeutung bei der Prozentrechnung, bei den Strahlensätzen und bei linearen Funktionen der Form y = mx.

Wissenstest - Lineare Gleichungen

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Äquivalenzumformungen

Gleichungen bzw. Ungleichungen mit demselben Grundbereich, die die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

Bruchgleichungen, Lösen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.

Bruchgleichungen lassen sich folgendermaßen lösen:

Es wird der Hauptnenner der Bruchgleichung z. B. durch
Primfaktorzerlegung oder durch Faktorisierung bestimmt.
Beide Seiten der Bruchgleichung werden mit dem Hauptnenner multipliziert.
Auf beiden Seiten werden die Brüche gekürzt.
Die neue Gleichung wird mit den bekannten Schritten für
äquivalentes Umformen gelöst.
Es muss geprüft werden, ob die Lösung der neuen Gleichung auch zur Definitionsmenge der Bruchgleichung gehört.

Gleichungen, grafisches Lösen

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwändig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen. Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion. Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

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