Wissenstest - Gleichungen und Ungleichungen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Wissenstest - Gleichungen und Ungleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/wissenstest-gleichungen-und-ungleichungen (Abgerufen: 20. May 2025, 18:48 UTC)

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Proben

Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
das Prüfen der Lösungen am Aufgabentext,
das Ausführen der Umkehroperationen,
das Nutzen von Rechenregeln (z. B. Teilbarkeitsregeln) oder
das grafische Lösen einer numerischen Aufgabe.

Ungleichungen, Äquivalentes Umformen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, $\leq$ , $\geq$ oder $\neq$ steht, bilden eine Ungleichung.

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
(Aus < wird >, aus $\leq$ wird $\geq$ und umgekehrt.)

Verhältnisgleichungen

Viele Probleme, bei denen mit drei gegebenen Größen eine vierte berechnet wird, führen auf Verhältnisgleichungen (Proportionen).
Eine Gleichung der Form
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} (a,b,c,d \neq 0)$
heißt Verhältnisgleichung oder Proportion.
Dabei wird der Quotient zweier Größen als Verhältnis bezeichnet. Verhältnisgleichungen haben eine große Bedeutung bei der Prozentrechnung, bei den Strahlensätzen und bei linearen Funktionen der Form y = mx.

Wissenstest - Lineare Gleichungen

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Äquivalenzumformungen

Gleichungen bzw. Ungleichungen mit demselben Grundbereich, die die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

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