Äquivalenzumformungen

Gleichungen mit demselben Grundbereich, welche die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

• die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
• auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
• beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
• beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

Umformungen von Gleichungen mithilfe dieser Regeln heißen auch Äquivalenzumformungen, da sich die Lösungsmenge der Gleichungen dabei nicht ändert.

Es ist üblich, die auf beiden Seiten auszuführende Operation rechts neben der Gleichung nach einem senkrechten Strich zu notieren.
Mithilfe der Umformungsregeln kann man die Gleichungen rein formal lösen, indem sie so lange gezielt umgeformt werden, bis die Variable allein auf einer Seite steht. Man sagt, die Variable wird isoliert.

Um eine geeignete Umformung zum Isolieren der Variablen zu finden, untersucht man zuerst die Struktur der Terme mit der Variablen.
Dann bestimme man die geeigneten Rechenoperationen, mit denen die Variable isoliert werden kann. Genutzt werden dabei die Eigenschaften zueinander entgegengesetzter Rechenoperationen.

Addition und Subtraktion heben sich gegenseitig auf.

Beispiele:
$\begin{array}{l}\text{x}+\text{6}=\text{14}|-\text{6}\text{, da}\text{Summe}\\ \text{x}+\text{6}-\text{6}=\text{14}-\text{6}\\ x=8\\ L=\left\{8\right\}\\ \\ \text{x}-\text{7}=\text{9}|+\mathrm{7,}\text{ da}\text{Differenz}\\ x-7+7=9+7\\ x=16\\ L=\left\{16\right\}\end{array}$

Multiplikation und Division heben sich gegenseitig auf.

Beispiele:
$\begin{array}{l}\text{4}\cdot \text{x}=\text{28}|\text{:4}\text{,}\text{da}\text{Produkt}\\ \text{4}\cdot \text{x}\text{:4}=\text{28}\text{:}\text{4}\\ \text{x}=\text{7}\\ \text{L}=\left\{7\right\}\\ \\ \frac{\text{x}}{\text{3}}=\text{4}|\cdot \text{3}\text{,}\text{da}\text{Quotient}\\ \frac{\text{x}}{\text{3}}\cdot \text{3}=\text{4}\cdot \text{3}\\ x=12\\ L=\left\{12\right\}\end{array}$

Bei komplizierten Gleichungen sind mehrere dieser Umformungsregeln nacheinander anzuwenden.

Treten in der Gleichung Klammern auf, so werden diese vor den weiteren Umformungen aufgelöst.
Wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt, muss man vor dem Isolieren erst ordnen, damit alle Terme mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung stehen.
Treten in der Gleichung Summen mit Variablen oder Summen von Zahlen auf, so werden diese vor dem Ordnen zusammengefasst.

Beispiel:
$\begin{array}{l}G=\mathbb{N}\\ \text{4}\text{x}-\left(\text{3}\text{x}+\text{2}\right)=\text{3}\text{x}-\text{7}|\text{Klammern}\text{auflösen}\\ \text{4}\text{x}-\text{3}\text{x}-\text{2}=\text{3}\text{x}-\text{7}|\text{zusammenfassen}\\ \text{x}-\text{2}=\text{3}\text{x}-\text{7}|\text{+ 7}\text{,}\text{da}\text{Differenz}\\ \text{x}+\text{5}=\text{3}\text{x}|–\text{x}\text{,}\text{da Summe}\\ \text{5}=\text{2}\text{x}|\text{:2}\text{,}\text{da Produkt}\\ \text{x}=\frac{\text{5}}{\text{2}}\\ \text{L}=\left\{\right\}\text{,}\text{ da}\text{x}=\frac{\text{5}}{\text{2}}\notin \mathbb{N}\end{array}$