Lineare Gleichungssysteme, Grafisches Lösen

Ein lineares Gleichungssytem mit den beiden Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (I und II) mit jeweils den Variablen x und y.
$\begin{array}{l}\text{I}{\text{a}}_{\text{1}}\text{x}+{\text{b}}_{\text{1}}\text{y}={\text{c}}_{\text{1}}{\text{a}}_{\text{1}}{\text{,b}}_{\text{1}}{\text{,c}}_{\text{1}}\in \mathbb{Q}\\ \text{II}{\text{a}}_{\text{2}}\text{x}+{\text{b}}_{\text{2}}\text{y}={\text{c}}_{\text{2}}{\text{a}}_{\text{2}}{\text{,b}}_{\text{2}}{\text{,c}}_{\text{2}}\in \mathbb{Q}\end{array}$
Zur Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems gehören die Zahlenpaare , die sowohl zur Lösungsmenge der Gleichung I als auch zur Lösungsmenge der Gleichung II gehören.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird in folgenden Schritten zeichnerisch gelöst:

1. Beide lineare Gleichungen werden in die Form y = mx + n gebracht.
2. Die zugehörigen Geraden werden in dasselbe Koordinatensystem gezeichnet.
3. Die Lösung entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und wird aus der grafischen Darstellung abgelesen.

Lösungsmöglichkeiten:

• Schneiden die beiden Geraden einander in einem Punkt, so hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.
• Verlaufen die beiden Geraden parallel zueinander, so hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung.
• Gehört zu beiden Gleichungen ein und dieselbe Gerade, so hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Beispiel 1 (Bild 1):

$\begin{array}{l}\text{I}\text{2x}+\text{2y}=6\text{x}\text{,}\text{y}\in \mathbb{Q}\\ \text{II}\text{2x}+\text{y}=\text{5}\\ \text{I}\text{a}\text{y}=-x+3\\ \text{IIa}\text{y}=-\text{2x}+\text{5}\end{array}$

Die Lösungen der Gleichung I sind Punkte der Geraden I.
Die Lösungen der Gleichung II sind Punkte der Geraden II.
Die Lösung des Gleichungssystems sind Punkte, die sowohl zur Geraden I als auch zur Geraden II gehören. Das ist nur der Punkt (2; 1).
Das lineare Gleichungssystem hat die Lösungsmenge
$\text{L}=\left\{\left(\text{2;}\text{1}\right)\right\}$, d. h. x = 2 und y = 1.

Beispiel 2 (Bild 2):

$\begin{array}{l}\text{I}x+y=3x,y\in \mathbb{Q}\\ II2x+2y=4\\ Iay=-x+3\\ IIay=-x+2\end{array}$

Die beiden Geraden schneiden einander nicht.
Es gibt keinen Punkt, der gleichzeitig zu beiden Geraden gehört.
Das Gleichungssystem hat keine Lösung: $\text{L}=\left\{\right\}$.
Das lässt sich bereits an den beiden umgeformten Gleichungen erkennen. Beide haben den gleichen Anstieg m = –1, die Geraden verlaufen also parallel.

Beispiel 3 (Bild 3):

$\begin{array}{l}\text{I}\text{y}-2\text{x}=2\text{x}\text{,}\text{y}\in \mathbb{Q}\\ \text{II}\text{2y}-\text{4x}=\text{4}\\ \text{I}\text{a}\text{y}=\text{2x}+\text{2}\\ \text{IIa}\text{y}=\text{2x}+\text{2}\end{array}$

Die beiden Geraden sind identisch.
Alle Punkte der Geraden sind Lösungen des linearen Gleichungssystems. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Zur Lösungsmenge gehören alle die Zahlenpaare, welche die Gleichung y = 2x + 2 erfüllen.