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Intervalle

Eine Menge reeller Zahlen nennt man Intervall, wenn sie sich auf der Zahlengeraden als Strecke darstellen lässt.
Gehören die Randwerte mit zum Intervall, spricht man von einem abgeschlossenen Intervall, gehören sie nicht zur dargestellten Menge, spricht man von einem offenen Intervall.

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Eine Menge reeller Zahlen nennt man Intervall, wenn sie sich auf der Zahlengeraden, als Strecke darstellen lässt.
Gehören die Randwerte mit zum Intervall, spricht man von einem abgeschlossenen Intervall, gehören sie nicht zur dargestellten Menge, spricht man von einem offenen Intervall.
Die Intervallgrenzen werden zumeist mit eckigen Klammern oder Punkten gekennzeichnet (Bild 1).

  • Übersicht über Intervalle

Intervallarten und Beispiele

abgeschlossenes Intervall
[ a;   b ] = { x ∈ ℝ   |   a ≤ x ≤ b }

[ a;   b ] ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist größer bzw. gleich a und kleiner bzw. gleich b. Die Randwerte a und b gehören damit zum Intervall.

Beispiel (Bild 2): [ − 2;   6 ]
Die Menge besteht aus allen rellen Zahlen zwischen –2 und 6, für die gilt − 2   ≤   x ≤   6 . Sowohl –2 als auch 6 gehören zur Menge.

  • Abgeschlossenes Intervall

offenes Intervall
]   a;   b   [ = { x ∈ ℝ   |   a < x < b }

]   a;   b   [ ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist größer a und kleiner b.
Die Randwerte a und b gehören damit nicht zum Intervall.

Beispiel (Bild 3): ]   − 2;   6   [
Die Menge besteht aus allen rellen Zahlen zwischen –2 und 6, für die gilt − 2   <   x <   6 . Sowohl –2 als auch 6 gehören nicht zur Menge.

]   a;   ∞   [ ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist größer a.
Der Randwert a gehört nicht zum Intervall.

]   – ∞ ;   b   [ ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist kleiner b.
Der Randwert b gehört nicht zum Intervall.

  • Offenes Intervall

rechtsoffenes Intervall
[   a;   b   [ = { x ∈ ℝ   |   a ≤ x < b }

[   a;   b   [ ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist größer a bzw. gleich und kleiner b.
Der Randwert a gehört zum Intervall, und b gehört nicht zum Intervall.

Beispiel (Bild 4): [   − 2;   6   [
Die Menge besteht aus allen rellen Zahlen zwischen –2 und 6,
für die gilt − 2   ≤   x <   6 . Die Zahl –2 gehört zur Menge, die Zahl 6 nicht.

[   a;   ∞   [ ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist größer bzw. gleich a.
Der Randwert a gehört zum Intervall.

  • Rechtsoffenes Intervall

linksoffenes Intervall
]   a;   b   ] = { x ∈ ℝ   |   a < x ≤ b }

]   a;   b   ] ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist größer a und kleiner bzw. gleich b.
Der Randwert a gehört nicht zum Intervall und b gehört zum Intervall.

Beispiel (Bild 5): ]   − 2 ;   6   ]
Die Menge besteht aus allen rellen Zahlen zwischen –2 und 6, für die gilt − 2   < x ≤   6 . Die Zahl –2 gehört nicht zur Menge, die Zahl
6 gehört zur Menge.

]   − ∞ ;   b   ] ist die Menge aller x ∈ ℝ ; x ist kleiner bzw. gleich b.
Der Randwert b gehört zum Intervall.

  • Linksoffenes Intervall
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Intervalle." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/intervalle (Abgerufen: 11. August 2025, 10:58 UTC)

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Lineare Gleichungssysteme, Grafisches Lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (I und II) mit jeweils den Variablen x und y.
I     a 1 x + b 1 y = c 1     a 1 ,b 1 ,c 1 ∈ ℚ II       a 2 x + b 2 y = c 2       a 2 ,b 2 ,c 2 ∈ ℚ
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Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen < ,     > ,     ≤ ,     ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form a x + b y + c < 0       ( a ,   b ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

Proben

Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

  • das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
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Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, ≤ , ≥ oder ≠ steht, bilden eine Ungleichung.

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  • Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
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    (Aus < wird >, aus ≤ wird ≥ und umgekehrt.)
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