Schriftliche Division

Beim Verfahren der schriftlichen Division nutzt man das Distributivgesetz.
Die folgenden Beispiele sollen das Verfahren verdeutlichen.

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Beim Verfahren der schriftlichen Division nutzt man das Distributivgesetz.
Folgende Beispiele sollen das Verfahren verdeutlichen:

Es sei die Zahl 3374 durch 7 zu dividieren.

Man schreibt:

Man rechnet (links beginnend):

\begin{array}{l} 3374 : 7 = 482 \\ \underline{28} \\ 57 \\ \underline{56} \\ 14 \\ \underline{14} \\ 0 \end{array}

33 : 7 = 4, Rest 5. Man notiert 4 als erste Ziffer des Quotienten. Man rechnet 4 · 7 = 28, schreibt die 28 unter die 33.
Man bildet die Differenz 33 - 28 = 5 und fügt die 7 als nächste Ziffer des Dividenden an.
57 : 7 = 8, Rest 1. 8 ist die zweite Resultatsziffer, 8 · 7 = 56, 56 unter 57 setzen. Die Differnz ist 1 und 4 als nächste Ziffer anfügen 14 : 7 = 2, Rest 0. 2 ist die dritte Resultatsziffer, 2 · 7 = 14, 14 unter 14 setzen. Die Differenz ist 0; 3374 ist ein Vielfaches von 7, nämlich das 482-Fache;

482 \cdot 7

= 3374.

Analog kann man auch durch mehrstellige Zahlen schriftlich dividieren.

Es sei die Zahl 15296 durch 32 zu dividieren.

Man schreibt:

Man rechnet (links beginnend):

\begin{array}{l} 15296 : 32 = 478 \\ \underline{128} \\ 249 \\ \underline{224} \\ 256 \\ \underline{256} \\ 0 \end{array}

152 : 32 = 4, man notiert 4 als Resultatsziffer.
Man rechnet

4 \cdot 32

= 128; 128 unter 152 schreiben.
152 – 128 = 24, 9 als nächste Ziffer des Dividenden ergänzen, 249 : 32 = 7, 7 als zweite Resultatsziffer notieren;

7 \cdot 32

= 224; 224 unter 249 schreiben;
249 – 224 = 25, 6 als nächste Resultatsziffer ergänzen,
256 : 32 = 8, Rest 0, 8 als Resultatsziffer notieren;

8 \cdot 32

= 256; 256 unter 256 schreiben;
256 – 256 = 0, die Division geht auf, 15296 ist ein Vielfaches von 32;

478 \cdot 32

= 15296.

Divisionsaufgaben gehen keineswegs immer auf. Dann kann man die sogenannte Division mit Rest durchführen. Hierbei wendet man das oben gezeigte Verfahren so lange an, bis ein Rest übrig bleibt, der kleiner als der Divisor ist.

Es sei die Zahl 15304 durch 32 zu dividieren.

Man schreibt:

Man rechnet (links beginnend):

\begin{array}{l} 15304 : 32 \neq 478 \\ \underline{128} \\ 250 \\ \underline{224} \\ 264 \\ \underline{256} \\ 8 \end{array}

153 : 32 = 4, Man notiert 4.
Man rechnet

4 \cdot 32

= 128 und schreibt die 128 unter 153;
153 – 128 = 25, 0 als nächste Ziffer des Dividenden ergänzen, 250 : 32 = 7, 7 als nächste Resultatsziffer notieren;

7 \cdot 32

= 224; 224 unter 250 schreiben;
250 – 224 = 26, 4 als nächste Ziffer des Dividenden ergänzen, 256 : 32 = 8, 8 als Resultatsziffer notieren;

8 \cdot 32

= 256, unter 264 schreiben;
264 – 256 = 8, die Division geht nicht auf, es bleibt ein Rest, der kleiner als der Divisor ist (8 < 32). 15304 ist kein Vielfaches von 32. Das Gleichheitszeichen in der ersten Zeile ist also falsch und sollte durchgestrichen werden.
Als Ergebnis ist zu notieren:
1530 : 32 = 478 Rest 8

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Schriftliche Division." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik/artikel/schriftliche-division (Abgerufen: 20. May 2025, 06:41 UTC)

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Muhammad ibn Musa Al-Chwarizmi

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI, persisch-arabischer Mathematiker
* um 780 Bagdad (heute in Irak)
† um 850

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI (auch AL-KHWARIZMI) war ein persisch-arabischer Mathematiker, der etwa von 780 bis 850 lebte und insbesondere am Hof des Kalifen AL-MANSUR in Bagdad wirkte.
AL-CHWARIZMI führte die indische Ziffernschreibweise und damit das dekadische Positionssystem in den arabischen Kulturkreis ein und beschrieb diese in einem Lehrbuch, das 820 erschien. In diesem Buch findet man vor allem die Gesamtheit der Regeln (Handlungsvorschriften) zum formalen Lösen von Gleichungen – und aus dem Namen des Autors wurde für Handlungsvorschriften der Begriff „Algorithmus“ abgeleitet.

Primzahlen

Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
Man nimmt an, pn sei die größte Primzahl.
Nun bildet man die Zahl z als Produkt aller bekannten Primzahlen,
z235...pn . Für die Zahl z + 1 gilt nun z + 1 1 mod aller pi , d. h. z + 1 ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar. Damit ist z + 1 entweder eine Primzahl (natürlich größer als pn ) oder sie enthält eine Primzahl als Teiler, die aber auch größer als pn sein muss, oder wir haben eine neue Primzahl gefunden, die kleiner als pn ist. Also war die Annahme falsch und es gibt keine größte Primzahl.

In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl.
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Primzahlen, Historisches

Schon die Mathematiker der Antike suchten nach einem Verfahren zum Finden von Primzahlen. Bekannt ist ERATOSTHENES (um 230 v. Chr.) der mit dem nach ihm benannten Sieb eine Methode angab, die Primzahlen der Reihe nach zu ermitteln.
Auch PIERRE DE FERMAT, LEONHARD EULER und MARIN MERSENNE haben viel zur Erforschung der Primzahlen beigetragen.

Restklassen

Bei vielen zahlentheoretischen Überlegungen spielen Teilbarkeitsbeziehungen eine Rolle.
So kann man z. B. die Reste untersuchen, die natürliche Zahlen bei der Division durch eine Zahl b lassen.
So können bei der Division durch 5 die Reste 0, 1, 2, 3 und 4 auftreten.
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Schriftliche Subtraktion

Die Subtraktion ist in der Menge der natürlichen Zahlen $ℕ$ nur ausführbar, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist.
Zur schriftlichen Subtraktion schreibt man die Zahlen (analog zur schriftlichen Addition) untereinander. Man subtrahiert (von rechts beginnend) spaltenweise und notiert das Ergebnis. Ist die Subtraktion nicht ausführbar, erhöht man den Minuenden um einen (oder mehrere) Zehner, die man in der nächsten Spalte zusätzlich subtrahiert.

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