Spezielle Wurzelfunktion

Funktionen mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)=\sqrt[n]{x^m}\left(x\ge 0;m,n\in \mathbb{N};m\ge \mathrm{1,}n\ge 2\right)$ heißen Wurzelfunktionen.

Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)=\sqrt[2]{x}=\sqrt{x}$ auf. Die Funktion $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu $y=g\left(x\right)=x^2$, jedoch nur für $x\ge 0$, da die Gleichung $g\left(x\right)=x^2$ keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ist nicht äquivalent zu ${\left[f\left(x\right)\right]}^2=x$, da Quadrieren keine äquivalente Umformung darstellt. Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, dann erhält man nach der Quadratwurzeldefinition $\left|f\left(x\right)\right|=\sqrt{x}$ mit folgender Fallunterscheidung:
(1) $f_1\left(x\right)=\sqrt{x}$, wenn $f\left(x\right)\ge 0$
(2) $f_2\left(x\right)=-\sqrt{x}$, wenn $f\left(x\right)\le 0$.

$f_1\left(x\right)=\sqrt{x}$ ist die Umkehrung von $g_1\left(x\right)=x^2$ mit $x\ge 0$,
$f_2\left(x\right)=-\sqrt{x}$ ist die Umkehrung von $g_2\left(x\right)=x^2$ mit $x\le 0$ (Bild 2).