Wachstums- und Zerfallsprozesse

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Wachstums- und Zerfallsprozesse." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/wachstums-und-zerfallsprozesse (Abgerufen: 10. June 2025, 02:45 UTC)

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Ein Körper, der an einer Feder befestigt ist, führt nach einer Auslenkung eine Schwingung durch. Der Ort des Körpers wird durch die zeitabhängige Ortskoordinate y(t) beschrieben, deren Gleichung gefunden werden soll.
Im Folgenden werden mit einer derartigen Anordnung gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen untersucht.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

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Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung $U_{R} = I \cdot R$ ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also $U_{0} = U_{R} + U_{C} = I R + \frac{Q}{C},$ woraus mit $I = \frac{d Q}{d t}$ folgt:
$U_{0} = R \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{C} b z w . \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{R C} = \frac{U_{0}}{R}$

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form $f' (x) + q f (x) = s$ mit den Koeffizienten $q = \frac{1}{R C} u n d s = \frac{U_{0}}{R}$ sowie der gesuchten Funktion $Q = Q (t)$ , die im Folgenden zu lösen ist.

Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung $f' (x) + f (x) - x = 0$ lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form $f' (x) = x - y$ gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt $g (x) \cdot h (y)$ schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
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Differenzialgleichungen zur Beschreibung der Füllstandssteuerung einer Talsperre

Der Füllstand einer Talsperre wird ausgedrückt durch das (aktuelle) Stauvolumen V(t), das sich durch den Zu- und Abfluss von Wasser mit der Zeit t ändern kann. Zu- und Abfluss von Wasser geben an, welches Wasservolumen pro Zeiteinheit in die Talsperre hinein- bzw. aus ihr herausfließt.
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