Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

Aus der allgemeinen Lösung
$y=f(x)=\{\begin{array}{cc}c+sx,& wennq=0\\ c\cdot e^{-qx}+\frac{s}{q},& wennq\ne 0\end{array}mitckons\tan t$
erhält man als Lösung der Gleichung:
$Q\left(t\right)=c\cdot e^{-\frac{t}{RC}}+U_{0}C$

Nun werden die Anfangswertprobleme für den Lade- und Entladevorgang des Kondensators gelöst. Beim Laden liefert die Spannungsquelle die Spannung $U_0;$ zu Beginn des Ladevorgangs befindet sich noch keine Ladung auf dem Kondensator. Beim Entladen liegt keine äußere Spannung an, der Kondensator verfügt bei $t=0$ über eine Spannung $U_{C0}=U_C\left(0\right)$ und trägt demzufolge die Ladung $Q_0=U_{C0}\cdot C.$

	Ladevorgang	Entladevorgang
Bedingungen	$U_0\ne \mathrm{0,}Q\left(0\right)=0$	$\begin{array}{l}{U}_0=\mathrm{0,}\\ Q\left(0\right)=Q_0=U_{C0}\cdot C\end{array}$
Gleichung lösen	$\begin{array}{l}Q\left(t\right)=c\cdot e^{-\frac{1}{RC}}+U_{0}C\\ Q\left(0\right)=0=c+U_{0}C\\ c=-U_{0}C\end{array}$	$\begin{array}{l}Q\left(t\right)=c\cdot e^{-\frac{1}{RC}}\\ Q\left(0\right)=U_{C0}C=c\\ c=U_{C0}\cdot C\end{array}$
partikuläre Lösung für Q	$\begin{array}{l}Q\left(t\right)=-U_{0}C\cdot e^{-\frac{1}{RC}}+U_{0}C\\ Q\left(t\right)=U_{0}C\left(1-e^{-\frac{1}{RC}}\right)\end{array}$	$Q\left(t\right)=U_{C0}\cdot C\cdot e^{-\frac{1}{RC}}$
Spannung am Kondensator $U_C=\frac{Q}{C}$	$U_C\left(t\right)=U_0\left(1-e^{-\frac{1}{RC}}\right)$	$U_C\left(t\right)=U_{C0}\cdot e^{-\frac{1}{RC}}$
Spannung am Kondensator mit	$U_C\left(t\right)=40V\left(1-e^{-10s{}^{-1}\cdot t}\right)$	$U_C\left(t\right)=40V\cdot e^{-10s{}^{-1}\cdot t}$

Wir betrachten nun den folgenden Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang. Die Kapazität des Kondensators beträgt $C=100nF.$ Die Spannungsquelle hat beim Einschalten eine Spannung von 40 V, die gleiche Spannung hat auch der Kondensator beim Abschalten. Der ohmsche Widerstand beträgt $1000k\Omega$.

Um eine geeignete Einteilung der Zeitachse zu ermöglichen, wird zuerst diejenige Zeit $t{}_h$ ermittelt, die verstreicht, bis der Kondensator mit einer Spannung von 40 V zur Hälfte entladen ist:
$\begin{array}{l}{U}_C\left(t{}_h\right)=\frac{U_{C0}}{2}=U_{C0}\cdot e^{-\frac{t{}_h}{RC}},also\frac{1}{2}=e^{-\frac{t{}_h}{RC}}\\ unddamit-\ln 2=-\frac{t{}_h}{RC}oder\\ t{}_h=\ln 2\cdot R\cdot C=\mathrm{0,693}\cdot {10}^6\frac{V}{A}\cdot {10}^{-7}\frac{As}{V}=\mathrm{6,93}\cdot {10}^{-2}s=\mathrm{69,3}ms\end{array}$

Die grafische Darstellung erfolgt mit Blick auf die Halbwertszeit im Zeitintervall von 0 bis 0,4 s bzw. von 0 bis 400 ms. Ferner gilt $R\cdot C={10}^6\frac{V}{A}\cdot {10}^{-7}\frac{As}{V}={10}^{-1}s.$