Lösen von linearen inhomogenen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mittels Variation der Konstanten

Bei der folgenden Lösung der Differenzialgleichung wird die Existenz der Lösung in einem Bereich der xy-Ebene vorausgesetzt.

Zur Berechnung des Integrals von $y^{\prime }+f(x)y+g(x)=0$ löst man zuerst $y^{\prime }+f(x)y=0$.

Das ist eine Differenzialgleichung mit getrennten Variablen.

Also folgt $\frac{y^{\prime }}{y}=-f(x)$ und nach Integration $y=c{e}^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}$.

Für c = c(x) ergibt sich nach Differenziation
$\begin{array}{l}{y}^{\prime }=c^{\prime }(x)e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}+c(x)[e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}(-f(x))]\\ =c^{\prime }(x)e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}-c(x)f(x)e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}.\end{array}$

Einsetzen von y und $y^{\prime }$ in die inhomogene Differenzialgleichung ergibt
$c^{\prime }(x)e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}-c(x)f(x)e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}+f(x)c(x)e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}+g(x)=0.$

Da sich hier zwei Summanden aufheben, folgt:
$\begin{array}{l}{c}^{\prime }(x)e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}+g(x)=0\\ c^{\prime }(x)=-g(x)e^{{\displaystyle \int f(x)dx}}\\ c(x)=-{\displaystyle \int g(x)}{e}^{{\displaystyle \int f(x)dx}}dx\end{array}$

Damit lautet das allgemeine Integral
$y=e^{-{\displaystyle \int f(x)dx}}\left\{-{\displaystyle \int g(x)e^{{\displaystyle \int f(x)dx}}dx}\right\}$.

Für das Integral durch den Punkt $P(x_0;y_0)$ muss gelten
$c(x_0)=y_0,$ also $c(x)=y_0-{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}g(x)}{e}^{{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}f(x)dx}}dx,$.

Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems:
$y=(y_0-{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}g(x)}{e}^{{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}f(x)dx}}dx)(e^{-{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}f(x)dx}})\left\{-{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}g(x)}{e}^{{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}f(x)dx}}dx\right\}$

Beispiel

Das Integral von $y^{\prime }+3\frac{y}{x}-x=\mathrm{0,}x\ne \mathrm{0,}$ soll berechnet werden.
Es ist:
$\begin{array}{l}\frac{y^{\prime }}{y}+3\frac{1}{x}=0\\ \frac{y^{\prime }}{y}=-\frac{3}{x}\\ \ln \left|y\right|=-3\ln \left|x\right|+\ln \left|c\right|=\ln \left|c{x}^{-3}\right|,alsoy=c{x}^{-3}\end{array}$

Für c = c(x) folgt $y^{\prime }=c^{\prime }(x)x^{-3}-3c(x)x^{-4}.$

Einsetzen von y und $y^{\prime }$ eingesetzt ergibt nach dem Zusammenfassen
$\begin{array}{l}{c}^{\prime }(x)=x^4\\ c(x)=\frac{1}{5}{x}^5+c_0,d.h.y=c(x)x^5=\frac{1}{5}{x}^2+\frac{c_0}{x^3}.\end{array}$